题号:625    题型:解答题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设 $b > a > e$, 证明 $a^{b} > b^{a}$.
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答案:
因为 $b > a > e$, 故原不等式等价于 $b \ln a > a \ln b$ 或 $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$.


证法一: 令 $f(x)=x \ln a-a \ln x,(x > a > e)$, 则 $f^{\prime}(x)=\ln a-\frac{a}{x}$.
因为 $x > a > e$, 所以 $\ln a > 1, \frac{a}{x} < 1$, 故 $f^{\prime}(x)=\ln a-\frac{a}{x} > 0$.
从而 $f(x)$ 在 $x > a > e$ 时为严格的单调递增函数, 故 $f(x) > f(a)=0,(x > a > e)$.
由此 $f(b)=b \ln a-a \ln b > 0$, 即 $a^{b} > b^{a}$.


证法二: 令 $f(x)=\frac{\ln x}{x}(x > e)$, 则 $f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$.
当 $x \in(e,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x) < 0$, 所以 $f(x)$ 为严格的单调递减函数, 故存在 $b > a > e$ 使得
$$f(b)=\frac{\ln b}{b} < f(a)=\frac{\ln a}{a}$$
成立. 即 $a^{b} > b^{a}$.
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