题号:626    题型:解答题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 a x_{2} x_{3}(a > 0)$, 通过正交变换化成标准形$f=y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$, 求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵.
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答案:
【解析】写出二次型 $f$ 的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & a & 3\end{array}\right)$, 它的特征方程是
$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-2 & 0 & 0 \\
0 & \lambda-3 & -a \\
0 & -a & \lambda-3
\end{array}\right|=(\lambda-2)\left(\lambda^{2}-6 \lambda+9-a^{2}\right)=0 .
$$
$f$ 经正交变换化成标准形 $f=y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$, 那么标准形中平方项的系数 $1,2,5$ 就是 $A$ 的 特征值.
把 $\lambda=1$ 代入特性方程, 得 $a^{2}-4=0 \Rightarrow a=\pm 2$.
因 $a > 0$ 知 $a=2$. 这时 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right)$.
对于 $\lambda_{1}=1$, 由 $(E-A) x=0,\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -2\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 得 $X_{1}=(0,1-1)^{T}$. 对于 $\lambda_{2}=2$, 由 $(2 E-A) x=0,\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 得 $X_{2}=(1,0,0)^{T}$. 对于 $\lambda_{3}=5$, 由 $(5 E-A) x=0,\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 得 $X_{3}=(0,1,1)^{T}$. 将 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 单位化, 得
$$
\gamma_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right), \gamma_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \gamma_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right) .
$$
故所用的正交变换矩阵为
$$
=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)
$$
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