题号:613    题型:填空题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零, 且 $A$ 的秩为 $n-1$, 则线性方程组 $A x=0$ 的通解 为
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答案:
$k(1,1, \cdots, 1)^{T}$

解析:

因为 $r(A)=n-1$, 由 $n-r(A)=1$ 知, 齐次方程组的基础解系为一个向量, 故 $A x=0$ 的通解形式为 $k \eta$. 下面根据已知条件 “ $A$ 的各行元素之和均为零” 来分析推导 $A x=0$ 的一个非零解, 它就是 $A x=0$ 的基础解系.
各行元素的和均为 0 , 即
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11}+a_{12} \cdots+a_{1 n}=0 \\
a_{21}+a_{22} \cdots+a_{2 n}=0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1}+a_{n 2} \cdots+a_{n n}=0
\end{array},\right.
$$
而齐次方程组 $A x=0$ 为
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0
\end{array} .\right.
$$
两者比较, 可知 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=1$ 是 $A x=0$ 的解. 所以应填 $k(1,1, \cdots, 1)^{T}$.

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