题号:624    题型:解答题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设在 $[0,+\infty)$ 上函数 $f(x)$ 有连续导数, 且 $f^{\prime}(x) \geq k > 0, f(0) < 0$, 证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且仅有一个零点.
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答案:
证法一:由拉格朗日中值定理可知, 在 $(0, x)$ 存在一点 $\xi$, 使得
$$
f(x)-f(0)=f^{\prime}(\xi)(x-0)=x f^{\prime}(\xi),
$$
即 $f(x)=x f^{\prime}(\xi)+f(0)$.
因为 $f^{\prime}(\xi) \geq k > 0$, 所以当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $x f^{\prime}(\xi) \rightarrow+\infty$, 故 $f(x) \rightarrow+\infty$.
由 $f(0) < 0$, 所以在 $(0, x)$ 上由介值定理可知, 必有一点 $\eta \in(0, x)$ 使得 $f(\eta)=0$.
又因为 $f^{\prime}(\xi) \geq k > 0$, 故 $f(x)$ 为严格单调增函数, 故 $\eta$ 值唯一.
证法二: 用牛顿一莱布尼兹公式, 由于
$$
f(x)=f(0)+\int_{0}^{x} f^{\prime}(t) d t \geq f(0)+\int_{0}^{x} k d t=f(0)+k x,
$$
以下同方法 1 .
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