题号:628    题型:解答题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发, 以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动. 物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与$A$ 同时出发, 其速度大小为 $2 v$, 方向始终指向 $A$, 试建立物体 $B$ 的运动轨迹所满足的微分方 程, 并写出初始条件.
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答案:

如图, 设当 $A$ 运动到 $(0, Y)$ 时, $B$ 运动到 $(x, y)$.
由 $B$ 的方向始终指向 $A$, 有 $\frac{d y}{d x}=\frac{y-Y}{x-0}$, 即
$$
\begin{gathered}
Y=y-x \frac{d y}{d x} . \\
\text { 又由 } v=\frac{d Y}{d t}, 2 v=\sqrt{\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}} \text {, 得 } \\
\sqrt{\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}}=2 \frac{d Y}{d t} .
\end{gathered}
$$
由题意, $x(t)$ 单调增, $\frac{d x}{d t} > 0$, 所以 $\frac{d x}{d t} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}=2 \frac{d Y}{d t}$. 亦即

$$
\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}=2 \frac{d Y}{d x}
$$
由 (1), (2) 消去 $Y, \frac{d Y}{d x}$, 便得微分方程 $2 x y^{\prime \prime}+\sqrt{1+y^{\prime 2}}=0$. 初始条件显然是 $y(-1)=0, y^{\prime}(-1)=1$.

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