题号:621    题型:解答题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
类型:考研真题
求微分方程 $x^{2} y^{\prime}+x y=y^{2}$, 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解.
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答案:
解法一: 所给方程为伯努利方程, 两边除以 $y^{2}$ 得
$$
x^{2} y^{-2} y^{\prime}+x y^{-1}=1 \text {, 即 }-x^{2}\left(y^{-1}\right)^{\prime}+x y^{-1}=1 \text {. }
$$

令 $y^{-1}=z$, 则方程化为 $-x^{2} z^{\prime}+x z=1$, 即 $z^{\prime}-\frac{1}{x} z=-\frac{1}{x^{2}}$,
即 $\left(\frac{z}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{3}}$,
积分得 $\frac{z}{x}=\frac{1}{2} x^{-2}+C$.
由 $y^{-1}=z$ 得 $\frac{1}{x y}=\frac{1}{2} x^{-2}+C$,
即 $y=\frac{2 x}{1+2 C x^{2}}$,
代入初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$, 得 $C=\frac{1}{2}$, 所以所求方程的特解是 $y=\frac{2 x}{1+x^{2}}$.


解法二: 所给方程可写成 $y^{\prime}=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}-\frac{y}{x}$ 的形式, 此方程为齐次方程. 令 $\frac{y}{x}=u$, 则 $y=x u, y^{\prime}=u+x u^{\prime}$, 所以方程可化为
$u+x u^{\prime}=u^{2}-u$, 分离变量得 $\frac{d u}{u(u-2)}=\frac{d x}{x}$,
积分得 $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{u-2}{u}\right|=\ln |x|+C_{1}$, 即 $\frac{u-2}{u}=C x^{2}$.
以 $\frac{y}{x}=u$ 代入上式, 得 $y-2 x=C x^{2} y$. 代入初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$, 得 $C=-1$, 故特解为 $y=\frac{2 x}{1+x^{2}}$.

解析:

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