【ID】620 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
求 $\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x$.
答案:
方法一: $\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x=2 \int x d \sqrt{e^{x}-1}=2 x \sqrt{e^{x}-1}-2 \int \sqrt{e^{x}-1} d x$.
令 $\sqrt{e^{x}-1}=t$, 则 $x=\ln \left(t^{2}+1\right), d x=\frac{2 t d t}{t^{2}+1}$,
所以 $\int \sqrt{e^{x}-1} d x=\int t \cdot \frac{2 t d t}{t^{2}+1}=2 \int \frac{t^{2}}{t^{2}+1} d t=2 \int\left(1-\frac{1}{t^{2}+1}\right) d t$ $=2 t-2 \arctan t+C=2 \sqrt{e^{x}-1}-2 \arctan \sqrt{e^{x}-1}+C$,
所以 $\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x=2 x \sqrt{e^{x}-1}-2 \int \sqrt{e^{x}-1} d x$
$$
=2 x \sqrt{e^{x}-1}-4 \sqrt{e^{x}-1}+4 \arctan \sqrt{e^{x}-1}+C
$$


方法二: 令 $\sqrt{e^{x}-1}=t$, 则 $e^{x}=t^{2}+1, x=\ln \left(t^{2}+1\right), d x=\frac{2 t d t}{t^{2}+1}$,
所以 $\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x=\int \frac{\left(t^{2}+1\right) \ln \left(t^{2}+1\right)}{t} \cdot \frac{2 t}{t^{2}+1} d t=2 \int \ln \left(t^{2}+1\right) d t$
$$
=2 t \ln \left(t^{2}+1\right)-2 \int t d \ln \left(t^{2}+1\right)=2 t \ln \left(t^{2}+1\right)-4 \int \frac{t^{2}}{t^{2}+1} d t
$$
关于 $\int \frac{t^{2}}{t^{2}+1} d t$ 的求解同方法一, 所以
$$
\begin{aligned}
\int \frac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x &=2 t \ln \left(t^{2}+1\right)-4(t-\arctan t)+C \\
&=2 x \sqrt{e^{x}-1}-4 \sqrt{e^{x}-1}+4 \arctan \sqrt{e^{x}-1}+C .
\end{aligned}
$$

解析:

视频讲解

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