【ID】630 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 上的均匀分布, 则随机变量 $Y=X^{2}$ 在 $(0,4)$ 内的概率分布密 度 $f_{Y}(y)=$
答案:
方法一: 可以用分布函数法, 即先求出分布函数, 再求导得到概率密度函数.
由已知条件, $X$ 在区间 $(0,2)$ 上服从均匀分布, 得 $X$ 的概率密度函数为
$$
F_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}, & 0 < x < 2 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} .\right.
$$
先求 $F$ 的分布函数 $F_{Y}(y)=P(Y \leq y)=P\left(X^{2} \leq y\right)$.
当 $y \leq 0$ 时, $F_{Y}(y)=0$ ;当 $y \geq 4$ 时, $F_{Y}(y)=1$ ;当 $0 < y < 4$ 时,
$$
\begin{aligned}
F_{Y}(y) &=P\{Y \leq y\}=P\left\{X^{2} \leq y\right\}=P\{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\} \\
&=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} F_{X}(x) d x=\int_{-\sqrt{y}}^{0} 0 d x+\int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} d x=\frac{\sqrt{y}}{2}
\end{aligned}
$$

$$
F_{Y}(y)= \begin{cases}0, & y \leq 0 \\ \frac{\sqrt{y}}{2}, & 0 < y < 4 \\ 1, & y \geq 4\end{cases}
$$
于是, 对分布函数求导得密度函数
$$
f_{Y}(y)=F_{Y}^{\prime}(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{4 \sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$
故随机变量 $Y=X^{2}$ 在 $(0,4)$ 内的概率分布密度 $f_{Y}(y)=\frac{1}{4 \sqrt{y}}$.
方法二: 也可以应用单调函数公式法.
由于 $y=x^{2}$ 在 $(0,4)$ 内单调, 反函数 $x=h(y)=\sqrt{y}$ 在 $(0,2)$ 内可导, 且导数
$h^{\prime}(y)=\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ 恒不为零, 因此, 由连续型随机变量函数的密度公式, 得到随机变量 $Y$ 的概率
密度为
$$
f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{cc}
\left|h^{\prime}(y)\right| f_{X}[h(y)], 0 < y < 4 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot \frac{1}{2}, 0 < y < 4, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{4 \sqrt{y}}, & 0 < y < 4, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.\right.\right.
$$
故随机变量 $Y=X^{2}$ 在 $(0,4)$ 内的概率分布密度 $f_{Y}(y)=\frac{1}{4 \sqrt{y}}$.

解析:

视频讲解

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