题号:616    题型:单选题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设有直线 $L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}$ 与 $L_{2}:\left\{\begin{array}{l}x-y=6 \\ 2 y+z=3\end{array}\right.$, 则 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的夹角为 ( )
$A.$ $\frac{\pi}{6}$ $B.$ $\frac{\pi}{4}$ $C.$ $\frac{\pi}{3}$ $D.$ $\frac{\pi}{2}$
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答案:
C

解析:

这实质上是求两个向量的夹角问题, $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的方向向量分别是
$$
\vec{l}_{1}=(1,-2,1), \quad \vec{l}_{2}=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right|=(-1,-1,2)
$$
$L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的夹角 $\varphi$ 的余弦为
$$
\cos \varphi=\left|\cos \left(\vec{l}_{1}, \vec{l}_{2}\right)\right|=\frac{\left|\vec{l}_{1} \cdot \overrightarrow{l_{2}}\right|}{\left|\vec{l}_{1}\right|\left|\overrightarrow{l_{2}}\right|}=\frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}}=\frac{1}{2}
$$
所以 $\varphi=\frac{\pi}{3}$, 应选 (C).
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