题号:609    题型:填空题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
函数 $F(x)=\int_{1}^{x}\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t(x > 0)$ 的单调减少区间为
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答案:
$0 < x \leq \frac{1}{4}$

解析:

【解析】由连续可导函数的导数与 0 的关系判别函数的单调性.
将函数 $F(x)=\int_{1}^{x}\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t$, 两边对 $x$ 求导, 得 $\quad F^{\prime}(x)=2-\frac{1}{\sqrt{x}}$.
若函数 $F(x)$ 严格单调减少, 则 $F^{\prime}(x)=2-\frac{1}{\sqrt{x}} < 0$, 即 $\sqrt{x} < \frac{1}{2}$.
所以函数 $F(x)$ 单调减少区间为 $0 < x \leq \frac{1}{4}$.
【相关知识点】函数的单调性: 设函数 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导.
(1) 如果在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x) > 0$, 那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增加;
(2) 如果在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x) < 0$, 那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调减少.
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