【ID】627 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.
答案:
证法一: 对 $B$ 按列分块, 记 $B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots \beta_{n}\right)$, 若
$$
k_{1} \beta_{1}+k_{2} \beta_{2}+\cdots+k_{n} \beta_{n}=0,
$$

$\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)\left(\begin{array}{c}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n}\end{array}\right)=0$, 亦即 $B\left(\begin{array}{c}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n}\end{array}\right)=0$.
两边左乘 $A$, 得 $A B\left(\begin{array}{c}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n}\end{array}\right)=0$, 即 $E\left(\begin{array}{c}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n}\end{array}\right)=0$, 亦即 $\left(\begin{array}{c}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n}\end{array}\right)=0$. 所以 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots \beta_{n}$ 线性无关.

证法二: 因为 $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, $n < m$, 所以 $r(B) \leq n$.
又因 $r(B) \geq r(A B)=r(E)=n$, 故 $r(B)=n$. 所以 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots \beta_{n}$ 线性无关.
【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义: 存在一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}$,
使 $k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$, 则称 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性相关; 否则, 称 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无 关.
2. 矩阵乘积秩的结论: 乘积的秩小于等于单个矩阵的秩

解析:

视频讲解

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