2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷

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2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

x \to 0^{+}

时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是
① 由

{\begin{cases} x = t^{3} \\ y = t^{2} \end{cases}

确定的函数

y = f (x)

②

\ln (- x + \sqrt{1 + x^{2}})

③

\int_{0}^{\sin x} \ln (1 + \sqrt{t^{2}}) d t

④

\frac{1 - \cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}

A.

①④②③

B.

②④①③

C.

①④③②

D.

④②①③

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2. 2. 如果一个二元函数

f (x, y)

可以写为一个关于

x

的函数

g (x)

乘以一个关于

y

的函数

h (y)

, 也就是

f (x, y) = g (x) h (y)

的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离”, 假定下列的函数中

f (x, y)

具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
①. 若

f (x, y) = x y e^{x + y}

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
②. 若

f (x, y) = (x + y) e^{x y}

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
③. 若

f (x, y) > 0

并且

\frac{\partial^{2} (\ln f (x, y))}{\partial x \partial y} = 0

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
④. 若

f (x, y) > 0

并且满足

\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \cdot f (x, y)

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离

A.

②

B.

①③④

C.

②④

D.

①③

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3. 方程

\arcsin x = k x

在

x \in [0, 1]

只有一个解, 那么

k

的取值范围是

A.

(1, \frac{π}{2}]

B.

k ⩾ \frac{π}{2}

或者

k < 1

C.

k > \frac{π}{2}

或者

k ⩽ 1

D.

k = 1

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4. 下列有关定义在

(- \infty, + \infty)

上的可导函数

f (x)

的说法正确的是

A.

若

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

, 并且

\exists x_{0} \in (0, + \infty)

, 使得

f (x_{0}) > A, \exists x_{1} \in (0, + \infty)

并且

x_{0} \neq x_{1}

, 使得

f (x_{1}) < A

, 那么

f (x)

在

(0, + \infty)

内有最大值和最小值。

B.

若

f (x)

是奇函数, 并且

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = A (\neq 0)

, 则

f (x)

的斜渐近线条数一定是偶数。

C.

若

f^{'} (x) = f (x) + \int_{0}^{x} f (t) d t

并且

f (0) = 1

, 则

f^{''} (0) = 2

D.

令

g (x) = {\begin{cases} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}, x \neq x_{0} \\ f^{'} (x_{0}), x = x_{0} \end{cases}

, 其中

x_{0} \in (- \infty, + \infty)

, 则

g^{'} (x_{0})

存在

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5. 设

m, n

均为正整数, 并且

m < n

, 设

A

为

m \times m

的矩阵,

B

为

m \times n

的矩阵,

C

为

n \times m

的矩阵, 已知

A B C = E

, 设

A^{*}

为

A

的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有（　　）个
①

B C A = E

②

C A B = E

③

C^{*} B^{*} A^{*} = E

④

A^{T} C^{T} B^{T} = E

A.

B.

C.

D.

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6. 下列说法中正确的是

A.

若 3 个 3 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关

B.

若 3 个 3 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交

C.

若 3 个 2 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

中至少一个为 0

D.

若 3 个 2 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

中只能有一个为

0

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7. 已知方程组

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}

无解，记

A = [\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}], b = [\begin{array}{l} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{array}], (X Y)

为分开矩阵，下列说法正确的是
①.

A x = 0

有无穷多解
②. 若

R (A) = 2

, 则

A^{*} b = 0

③.

R (\begin{array}{ll} A & b \end{array}) - R (A) = 2

是可能成立的
④. 若

A

有且仅有两行成比例, 则该方程组所对应的平面的交线个数为 2 个。

A.

①④

B.

①②③

C.

①③

D.

②④

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8. 设

A, B

为两个事件并且

0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1

, 那么下列说法中不正确的是

A.

P (A ∣ B) > P (A ∣ \bar{B})

的充要条件是

P (A B) > P (A) P (B)

B.

若满足

P (A ∣ \bar{B}) = P (B ∣ \bar{A})

, 则

P (A) = P (B)

C.

若满足

P (A ∣ \bar{B}) = P (B ∣ \bar{A})

, 则

P (A) = P (B)

或者

P (A ⋃ B) = 1

D.

若

P (A ∣ \bar{B}) + P (\bar{A} ∣ B) = 1

, 则

A

和

B

独立。

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9. 设随机变量

X

的分布函数为

F_{X} (x) = {\begin{cases} 0, x < 3 \\ 0.8, 3 ⩽ x < 5 \\ 1, x ⩾ 5 \end{cases}

, 随机变量

Y

的分布函数为

F_{Y} (x) = {\begin{cases} 0, x < 5 \\ 0.2, 5 ⩽ x < 7 \\ 1, x ⩾ 7 \end{cases}

下列说法正确的是

A.

P (X + Y = 10) = 0.68

B.

若

X

与

Y

不相关, 则

X

与

Y

独立

C.

X + Y = 10

D.

P (X = 3, Y = 7) = 0.64

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10. 设

(X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

, 其中

σ_{1} > 0, σ_{2} > 0

, 则下列说法中正确的个数有（　　）个。
①. 令

{\begin{cases} U = \frac{X - μ_{1}}{σ_{1}} \\ V = \frac{Y - μ_{2}}{σ_{2}} \end{cases}

, 则

(U, V) \sim N (0, 0; 1, 1; ρ)

②. ①的条件下

E ((U - V)^{2}) = ρ

③. ①的条件下,

V = v

的条件下:

U \sim N (ρ v, 1 - ρ^{2})

④. ①的条件下, 若

ρ = 0

, 那么

E (U^{4} V^{4}) = 3

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{x^{2}}{x^{6} + 1} d x =

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12. 微分方程

y^{'} + x y = x y^{3}

当中满足

y (0) = \frac{1}{\sqrt{2}}

的特解为

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13. 已知正四面体

O - A B C

(就是每个面都是全等的等边三角形) 的边长以

1 cm / s

的速率增大 (过程中仍然保持正四面体), 那么当棱长变为

3 cm

的时候该正四面体表面积的增大速率为

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14. 曲线

x y = 1

在点

(- 1, - 1)

处的曲率圆方程为

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15. 设

A = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]

, 则二次型

x^{T} A x

的正惯性指数为

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16. 设事件

A, B, C

两两独立, 并且

P (A) = p, P (B) = 2 p, P (C) = 6 p

, 且

P (A B C) = 0

, 那么能够满足上述情况的

p

的最大值是

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设

f (x)

二阶可导并且

f (x)

具有反函数

f^{- 1} (x), f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

, 求

lim_{x \to 0} [\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{f^{- 1} (x)}]

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18. 若二元函数

f (u, v)

对每个变量都具有二阶连续偏导数, 并且满足

u \frac{\partial f}{\partial u} + v \frac{\partial f}{\partial v} = 4 f (u, v)

, 并且满足

\frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = u^{2} + v^{2}

。
(1) 求证:

{\begin{cases} u^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} + 2 u v \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} + v^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = 12 f (u, v) \\ v^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} - 2 u v \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} + u^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = {(u^{2} + v^{2})}^{2} - 12 f (u, v) \end{cases}

(2) 记

g (x, y) = f (e^{λ x} \cos y, e^{λ x} \sin y)

, 其中

λ

是一个常数, 求解

div (grad g)

。

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19. 求解

\iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})}^{3}}

, 其中

Σ : x^{2} + y^{2} + \frac{z^{2}}{2} = 1

当中

z ⩾ - \frac{1}{2}

的部分, 取外侧。

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20. 设函数

f (x)

的定义域是全体实数, 并且

f (x)

是周期为

2 π

的周期函数, 并且

f (x)

可导。
(1) 证明: 对于

\forall a

, 都有

{\begin{cases} \int_{- π}^{π} f (x + a) \sin n x d x = \int_{- π}^{π} f (x) \sin (n x - n a) d x \\ \int_{- π}^{π} f (x + a) \cos n x d x = \int_{- π}^{π} f (x) \cos (n x - n a) d x \end{cases}

成立
(2) 用 (1) 以及傅里叶级数理论证明: 若

f (x) = f (x + \sqrt{3})

, 则

f (x)

为常函数。

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21. 设

A

为三阶方阵, 并有可逆矩阵

P = (p_{1}, p_{2}, p_{3}), p_{i} (i = 1, 2, 3)

为三维列向量, 使得

P^{- 1} A P =

[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

(1) 证明:

p_{1}, p_{2}

为

(E - A) x = 0

的解,

p_{3}

为

(E - A) x = - p_{2}

的解, 且

A

不可相似对角化;
(2) 当

A = [\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & - 1 \\ 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 1 & 2 \end{array}]

时, 求可逆矩阵

P

, 使得

P^{- 1} A P = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

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22. 设随机变量

X

的概率密度函数为

f_{X} (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ (x + 2)}, & x ⩾ - 2 \\ 0, & x < - 2 \end{cases}

。设

Y = [X]

, 其中

[x]

为不超过

x

的最大整数。
(1) 求

Y

的分布律;
(2) 设

(Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n})

为来自总体

Y

的简单随机样本,

\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

, 求

λ

的矩估计量

{\hat{λ}}_{M}

和最大似然估计量

{\hat{λ}}_{L^{\circ}}

。

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