单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是
① 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3 \\ y=t^2\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=f(x)$
②$\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$
③$\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t$
④$\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}$
$\text{A.}$ ①④②③
$\text{B.}$ ②④①③
$\text{C.}$ ①④③②
$\text{D.}$ ④②①③
2. 如果一个二元函数 $f(x, y)$ 可以写为一个关于 $x$ 的函数 $g(x)$ 乘以一个关于 $y$ 的函数 $h(y)$, 也就是 $f(x, y)=g(x) h(y)$ 的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离”, 假定下列的函数中 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
①. 若 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{x+y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
②. 若 $f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{x y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
③. 若 $f(x, y)>0$ 并且 $\frac{\partial^2(\ln f(x, y))}{\partial x \partial y}=0$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
④. 若 $f(x, y)>0$ 并且满足 $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot f(x, y)$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
$\text{A.}$ ②
$\text{B.}$ ①③④
$\text{C.}$ ②④
$\text{D.}$ ①③
方程 $\arcsin x=k x$ 在 $x \in[0,1]$ 只有一个解, 那么 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(1, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{B.}$ $k \geqslant \frac{\pi}{2}$ 或者 $k < 1$
$\text{C.}$ $k>\frac{\pi}{2}$ 或者 $k \leqslant 1$
$\text{D.}$ $k=1$
下列有关定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数 $f(x)$ 的说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 并且 $\exists x_0 \in(0,+\infty)$, 使得 $f\left(x_0\right)>A, \exists x_1 \in(0,+\infty)$ 并且 $x_0 \neq x_1$, 使得 $f\left(x_1\right) < A$, 那么 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值和最小值。
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 是奇函数, 并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A(\neq 0)$, 则 $f(x)$ 的斜渐近线条数一定是偶数。
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 并且 $f(0)=1$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=2$
$\text{D.}$ 令 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, x \neq x_0 \\ f^{\prime}\left(x_0\right), x=x_0\end{array}\right.$, 其中 $x_0 \in(-\infty,+\infty)$, 则 $g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 （ ） 个
①$B C A=E$
②$C A B=E$
③$C^* B^* A^*=E$
④${A}^T {C}^T {B}^T={E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中只能有一个为 $\mathbf{0}$
已知方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\
a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\
a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3
\end{array}\right.
$$
无解，记
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}
d_1 \\
d_2 \\
d_3
\end{array}\right], \quad(\boldsymbol{X} \quad \boldsymbol{Y})
$$ 为分开矩阵，下列说法正确的是
①. $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有无穷多解
②. 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$
③. $R\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right)-R(\boldsymbol{A})=2$ 是可能成立的
④. 若 $\boldsymbol{A}$ 有且仅有两行成比例, 则该方程组所对应的平面的交线个数为 2 个。
$\text{A.}$ ①④
$\text{B.}$ ①②③
$\text{C.}$ ①③
$\text{D.}$ ②④
设 $A, B$ 为两个事件并且 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 那么下列说法中不正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充要条件是 $P(A B)>P(A) P(B)$
$\text{B.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$
$\text{C.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$ 或者 $P(A \bigcup B)=1$
$\text{D.}$ 若 $P(A \mid \bar{B})+P(\bar{A} \mid B)=1$, 则 $A$ 和 $B$ 独立。
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x < 3 \\ 0.8,3 \leqslant x < 5 \\ 1, x \geqslant 5\end{array}\right.$, 随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(x)= \left\{\begin{array}{l}
0, x < 5 \\
0.2,5 \leqslant x < 7 \\
1, x \geqslant 7
\end{array}\right.$ 下列说法正确的是
$\text{A.}$ $P(X+Y=10)=0.68$
$\text{B.}$ 若 $X$ 与 $Y$ 不相关, 则 $X$ 与 $Y$ 独立
$\text{C.}$ $X+Y=10$
$\text{D.}$ $P(X=3, Y=7)=0.64$
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$, 其中 $\sigma_1>0, \sigma_2>0$, 则下列说法中正确的个数有 （ ） 个。
①. 令 $\left\{\begin{array}{l}U=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} \\ V=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\end{array}\right.$, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$
②. ①的条件下 $E\left((U-V)^2\right)=\rho$
③. ①的条件下, $V=v$ 的条件下: $U \sim N\left(\rho v, 1-\rho^2\right)$
④. ①的条件下, 若 $\rho=0$, 那么 $E\left(U^4 V^4\right)=3$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_1^{+\infty} \frac{x^2}{x^6+1} \mathrm{~d} x=$
微分方程 $y^{\prime}+x y=x y^3$ 当中满足 $y(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的特解为
已知正四面体 $O-A B C$ (就是每个面都是全等的等边三角形) 的边长以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增大 (过程中 仍然保持正四面体), 那么当棱长变为 $3 \mathrm{~cm}$ 的时候该正四面体表面积的增大速率为
曲线 $x y=1$ 在点 $(-1,-1)$ 处的曲率圆方程为
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则二次型 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A x}$ 的正惯性指数为
设事件 $A, B, C$ 两两独立, 并且 $P(A)=p, P(B)=2 p, P(C)=6 p$, 且 $P(A B C)=0$, 那么能够 满足上述情况的 $p$ 的最大值是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 二阶可导并且 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x), f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right]$
若二元函数 $f(u, v)$ 对每个变量都具有二阶连续偏导数, 并且满足 $u \frac{\partial f}{\partial u}+v \frac{\partial f}{\partial v}=4 f(u, v)$, 并且 满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=u^2+v^2$ 。
(1) 求证: $\left\{\begin{array}{l}u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=12 f(u, v) \\ v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}-2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=\left(u^2+v^2\right)^2-12 f(u, v)\end{array}\right.$
(2) 记 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{\lambda x} \cos y, \mathrm{e}^{\lambda x} \sin y\right)$, 其中 $\lambda$ 是一个常数, 求解 $\operatorname{div}(\operatorname{grad} g)$ 。
求解 $\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^3}$, 其中 $\Sigma: x^2+y^2+\frac{z^2}{2}=1$ 当中 $z \geqslant-\frac{1}{2}$ 的部分, 取外侧。
设函数 $f(x)$ 的定义域是全体实数, 并且 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 并且 $f(x)$ 可导。
(1) 证明: 对于 $\forall a$, 都有 $\left\{\begin{array}{l}\int_{-\pi}^\pi f(x+a) \sin n x \mathrm{~d} x=\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin (n x-n a) \mathrm{d} x \\ \int_{-\pi}^\pi f(x+a) \cos n x \mathrm{~d} x=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos (n x-n a) \mathrm{d} x\end{array}\right.$ 成立
(2) 用 (1) 以及傅里叶级数理论证明: 若 $f(x)=f(x+\sqrt{3})$, 则 $f(x)$ 为常函数。
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵, 并有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3\right), \boldsymbol{p}_i(i=1,2,3)$ 为三维列向量, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
(1) 证明: $p_1, p_2$ 为 $(E-A) x=0$ 的解, $p_3$ 为 $(E-A) x=-p_2$ 的解, 且 $\boldsymbol{A}$ 不可相似对角化;
(2) 当 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ 时, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda(x+2)}, & x \geqslant-2 \\ 0, & x < -2\end{array}\right.$ 。设 $Y=[X]$, 其中 $[x]$ 为不超 过 $x$ 的最大整数。
(1) 求 $Y$ 的分布律;
(2) 设 $\left(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\right)$ 为来自总体 $Y$ 的简单随机样本, $\bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$, 求 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_M$ 和最 大似然估计量 $\hat{\lambda}_{L^{\circ}}$ 。