2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是
① 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3 \\ y=t^2\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=f(x)$
②$\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$
③$\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t$
④$\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}$

$ \text{A.}$ ①④②③ $ \text{B.}$ ②④①③ $ \text{C.}$ ①④③② $ \text{D.}$ ④②①③

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我来讲解

答案：

解析：

①: 有同学会这么做: 就是我们可以化简得 $y=x^{\frac{2}{3}}$, 所以这个 $y$ 就是 $x$ 的 $\frac{2}{3}$ 阶无穷小。
②: 感觉很像那个等价? 其实有一点类似, 但是又不完全一样。这里可以考虑三种方法解释:
(a) 注意到 $\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)=\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\right)=-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 。
所以 $x \rightarrow 0^{+}$时 $\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)=-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim-x$
(b) 注意到 $x \rightarrow 0^{+}$时 $\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim x$, 所以 $\ln \left((-x)+\sqrt{1+(-x)^2}\right) \sim-x$ 所以 $x \rightarrow 0^{+}$时 $\ln \left((-x)+\sqrt{1+(-x)^2}\right)=\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim-x$
(c) $\left[\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)\right]^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, 所以 $\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim-x_{\text {。 }}$
③: $x \rightarrow 0^{+}$时, $\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t=\int_0^{\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t \sim \int_0^x t \mathrm{~d} t=\frac{x^2}{2}$
④: $x \rightarrow 0^{+}$时, $\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}} \sim \frac{(\sqrt{x})^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}}=\frac{1}{2} x^{\frac{3}{4}}$
注意到 $\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < 1 < 2$, 所以从低到高的顺序为(1)(4)(2)(3), 所以选 A。
【注意】
(1)的本意不在于化简函数, 而是在于 $y 、 x$ 和 $t$ 的等价关系。
就是说 (以此题为例) $x \rightarrow 0^{+} \Rightarrow t \rightarrow 0^{+}$, 所以 $x \sim t^3, y \sim t^2$, 从而 $x \rightarrow 0^{+} \Rightarrow y \sim t^2=\left(t^3\right)^{\frac{2}{3}} \sim x^{\frac{2}{3}}$

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