2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设事件 $A, B, C$ 两两独立, 并且 $P(A)=p, P(B)=2 p, P(C)=6 p$, 且 $P(A B C)=0$, 那么能够满足上述情况的 $p$ 的最大值是

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答案：

$\frac{1}{8}$

解析：

画图如下

所以红色部分概率为 $2 p^2$, 蓝色部分概率为 $12 p^2$, 橙色部分概率为 $6 p^2$ 。
所以 $A$ 的剩下部分就是 $p-2 p^2-6 p^2=p-8 p^2, B$ 的剩下部分就是 $2 p-12 p^2-2 p^2=2 p-14 p^2$ 。
$C$ 的剩下部分就是 $6 p-6 p^2-12 p^2=6 p-18 p^2$ 。
所以 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant p \leqslant 1,0 \leqslant 2 p \leqslant 1,0 \leqslant 6 p \leqslant 1 \\ p-8 p^2 \geqslant 0,2 p-14 p^2 \geqslant 0,6 p-18 p^2 \geqslant 0 \\ \left(p-8 p^2\right)+\left(2 p-14 p^2\right)+\left(6 p-18 p^2\right)+2 p^2+12 p^2+6 p^2 \leqslant 1\end{array}\right.$
解得 $0 \leqslant p \leqslant \frac{1}{8}$ 。所以能够满足上述情况的 $p$ 的最大值是 $\frac{1}{8}$ 。
【注意】
那个大括号第一行表示的是 $P(A), P(B), P(C) \in[0,1]$, 第二行表示的是 $A$ 的剩下部分的概率 $\in[0,1], B, C$ 同理, 第三行表示的是 $P(A+B+C) \leqslant 1$ 。

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