2022年10月份高三文科数学模拟试卷

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2022年10月份高三文科数学模拟试卷

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

M = {x ∣ 4 - x < 0}, N = {x ∣ 1 < x < 6, x \in Z}

, 则

M \cap N =

A.

{2, 3, 4, 5}

B.

{4, 5, 6}

C.

{4, 5}

D.

{5}

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2. 已知复数

z = 2 - 2 i, \bar{z}

是

z

的共轭复数, 则

z \cdot \bar{z} =

A.

2 \sqrt{2}

B.

8

C.

4 + 4 i

D.

4 - 4 i

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3. 已知

a = 6^{0.7}, b = {0.7}^{2022}, c = \log_{2021} \frac{1}{2022}

, 则

A.

a > b > c

B.

a > c > b

C.

c > a > b

D.

b > a > c

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4. 某学校对高三年级 500 名学生进行系统抽样, 编号分别为

001, 002, \dots, 500

, 若样本相邻的两个编号为 031,056 , 则样本中编号最大的为

A.

479

B.

480

C.

481

D.

482

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x^{2} > 2021

是

x^{2} > 2022

的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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6. 已知实数

x, y

满足

{\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}

则

z = 2 x - 3 y

的最小值为

A.

3

B.

- 3

C.

- 6

D.

- 7

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△ A B C

为直角三角形,

∠ B = 60^{\circ}, ∠ A = 90^{\circ}

, 则以

A, B

为焦点且过点

C

的椭圆的离心率为

A.

\frac{\sqrt{3}}{2}

B.

\frac{1}{2}

C.

\sqrt{3} - 1

D.

2 - \sqrt{3}

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8. 设等比数列

{a_{n}}

满足

a_{1} + a_{3} = 20, a_{2} + a_{4} = 10

, 则使

a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \dots a_{n}

最大的

n

为

A.

B.

C.

4 或 5

D.

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9. 已知函数

f (x) = a \cos 2 x + \sqrt{3} a \sin 2 x - 2 a + b

在

x \in [0, \frac{π}{2}]

上的图象如右图所示, 则

a, b

的值分别为

A.

a = 2, b = 1

B.

a = 2, b = 3

C.

a = - 2, b = - 5

D.

a = - \frac{3}{2}, b = - 2

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10. 已知菱形

A B C D

中, 满足

A B = 8, \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 32

, 若点

G

在线段

B D

上, 则

\vec{G A} \cdot \vec{G B}

的最小值是

A.

-12

B.

C.

D.

-4

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11. 某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体外接球的表面积为

A.

200 π

B.

100 π

C.

\frac{125}{2} π

D.

50 π

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12. 已知不等式

(k x + 2 k) e^{x} < x + 1

恰有 2 个整数解, 求实数

k

的取值范围

A.

\frac{3}{4 e^{2}} \leq k < \frac{2}{3 e}

B.

\frac{3}{4 e^{2}} < k \leq \frac{2}{3 e}

C.

\frac{4}{5 e^{3}} < k \leq \frac{3}{4 e^{2}}

D.

\frac{4}{5 e^{3}} \leq k < \frac{3}{4 e^{2}}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知

a, b

均为正数且满足

a + 3 b = 2

, 则

\frac{1}{a} + \frac{5}{b}

的最小值为

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14. 已知数列

{a_{n}}

是等差数列,

a_{5} = 3

, 则

S_{9} =

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15. 已知平面向量

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

不共线且两两所成的角相等,

| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 2

, 则

| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | =

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16. 光线从椭圆的一个焦点发出, 被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点; 光线从双曲线的一个焦点发出, 被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出, 如图(1), 一个光学装置由有公共焦点

F_{1} 、 F_{2}

的椭圆

Γ

与双曲线

Ω

构成, 现一光线从左焦点

F_{1}

发出, 依次经

Ω

与

Γ

反射, 又回到了点

F_{1}

；历时 3 秒; 若将装置中的

Ω

去掉, 如图(2), 此光线从点

F_{1}

发出, 经

F

两次反射后又回到了点

F_{1}

, 历时

t

秒；已知

Γ

与

Ω

的离心率之比为

2 : 5

, 则

t =

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 电影《长津湖》让年轻人重新了解那一段历史, 见证中国人民爱国团结、不畏强权的钢铁意志. 自上映以来, 已经打破了 29 项记录, 现总票房已经有

56.98

亿, 已经超越《战狼 2 》, 成为中国电影历史排名的第 1 名. 某校高三年级 10 个班共 360 人, 其中男生 240 名, 女生 120 名, 现对学生观看《长津湖》情况进行问卷调查, 各班观影男生人数记为

A

组, 各班观影女生人数记为

B

组, 得到如下茎叶图.
（1）根据茎叶图完成

2 \times 2

列联表, 并判断是否有

99 %

的把握认为观看《长津湖》电影与性别有关;

(2) 若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取 6 人参加座谈, 并从参加座谈的学生
中随机抽取 2 位同学赠送电影票, 求抽取的 2 位同学均为男生的概率.

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18. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

. 且

b \sin B - a \sin A = (\sqrt{2} b - c) \sin (A + B)

.
(1) 求

A

的大小;
(2) 过点

C

作

C D / / B A

, 在梯形

A B C D

中,

B C = 4, C D = 3 \sqrt{3}, ∠ A B C = 120^{\circ}

, 求

A D

的长.

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19. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

. 且

b \sin B - a \sin A = (\sqrt{2} b - c) \sin (A + B)

.
(1) 求

A

的大小;
(2) 过点

C

作

C D / / B A

, 在梯形

A B C D

中,

B C = 4, C D = 3 \sqrt{3}, ∠ A B C = 120^{\circ}

, 求

A D

的长.

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20. 如图所示, 在等腰梯形

A B C D

中,

A B / / C D, B C = C D = 2, C F = 1, ∠ B C D = 120^{\circ}

, 四边形

A C F E

为矩形且满足

A E ⊥

平面

A B C D

.
(1) 证明：

E F ⊥

平面

B C F

；
(2) 若

M

是

E F

中点, 求点

C

到平面

B F M

的距离.

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21. 已知拋物线

E : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点

F

到准线的距离为 2 .
(1) 求拋物线

E

的方程;
(2) 直线

l : y = k x + 1

与拋物线

E

交于

A, B

两点, 若以

A B

为直径的圆与

x = 6

相切, 求实数

k

的值.

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22. 已知函数

f (x) = \ln x + a x^{2} + 1

.
(1) 若

a = 1

, 求

f (x)

在

P (1, f (1))

处的切线方程;
(2) 当

0 < x \leq e^{2}

时,

g (x) = f (x) - a x^{2} - 3 + \frac{a}{x}

有最小值 2 , 求

a

的值.

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23. 在直角坐标系

x O y

中, 已知曲线

C_{1}

的参数方程为

{\begin{cases} x = \frac{a}{\cos φ} (φ 为参数) \\ y = \tan φ \end{cases}

a > 0

以坐标原点为极点,

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线

C_{2}

的极坐标方程为

ρ = a \cos θ

.
(1) 求曲线

C_{1}

的普通方程和曲线

C_{2}

的直角坐标方程;
(2) 已知点

M

为曲线

C_{1}

的右焦点, 点

P

在曲线

C_{2}

上, 且直线

P M

与曲线

C_{2}

相切, 若

\sin ∠ P M O = \frac{1}{2}

, 求实数

a

的值.

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24. 已知函数

f (x) = | 2 x - a | - | 2 x + 3 |, g (x) = | x - 2 |

.
（1）当

a = 1

时，解不等式

f (x) \geq 2

；
（2）若

f (x) \leq g (x)

在

x \in [0, 1]

时有解, 求实数

a

的取值范围.

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