题号:2613    题型:解答题    来源:2022年10月份高三文科数学模拟试卷
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 且 $b \sin B-a \sin A=(\sqrt{2} b-c) \sin (A+B)$.
(1) 求 $A$ 的大小;
(2) 过点 $C$ 作 $C D / / B A$, 在梯形 $A B C D$ 中, $B C=4, C D=3 \sqrt{3}, \angle A B C=120^{\circ}$, 求 $A D$ 的 长.
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答案:
(1)由正弦定理可得: $b^2-a^2=(\sqrt{2} b-c) c$, 即 $b^2+c^2-a^2=\sqrt{2} b c$, 所以 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 所以 $A=45^{\circ}$.

(2)


(2) 在 $\mathrm{V} B C D$ 中, 由正弦定理得 $\frac{B C}{\sin \angle B A C}=\frac{A C}{\sin \angle A B C}$,
因为 $B C=4, \angle B A C=45^{\circ}, \angle A B C=120^{\circ}$,
所以 $A C=2 \sqrt{6}$.
在 $V A C D$ 中, 由余弦定理可得,
$$
A D^2=A C^2+C D^2-2 A C \cdot C D \cos \angle A C D=(2 \sqrt{6})^2+(3 \sqrt{3})^2-2 \times 2 \sqrt{6} \times 3 \sqrt{3} \times \cos 45^{\circ}=15
$$
所以 $AD=\sqrt{15}$
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