题号:2615    题型:解答题    来源:2022年10月份高三文科数学模拟试卷
已知拋物线 $E: x^2=2 p y(p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 .
(1) 求拋物线 $E$ 的方程;
(2) 直线 $l: y=k x+1$ 与拋物线 $E$ 交于 $A, B$ 两点, 若以 $A B$ 为直径的圆与 $x=6$ 相切, 求实 数 $k$ 的值.
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答案:
(1) 因为抛物线的焦点到准线的距离为 2 , 所以 $p=2$. 所以抛物线 $E$ 的方程为 $x^2=4 y$
(2) 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+1 \\ x^2=4 y\end{array}\right.$, 整理得 $x^2-4 k x-4=0$, $\Delta=16 k^2+16 > 0, x_1+x_2=4 k, x_1 x_2=-4$,
所以 $|A B|=\sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2}=4 k^2+4$.
设线段 $A B$ 的中点为 $M$, 则 $M\left(2 k, 2 k^2+1\right)$.
又因为以 $A B$ 为直径的圆与 $x=6$ 相切,
则 $|6-2 k|=\frac{4 k^2+4}{2}$, 即 $|3-k|=k^2+1$
当 $3-k \geq 0$ 时, $k^2+k-2=0$, 解得 $k=-2$ 或 1 ,
当 $3-k < 0$ 时, $k^2-k+4=0$, 无解.
所以 $k=-2$ 或 1 .
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