【ID】2611 【题型】解答题 【类型】期中考试 【来源】2022年10月份高三文科数学模拟试卷
电影 《长津湖》让年轻人重新了解那一段历史, 见证中国人民爱国团结、 不畏强权的钢铁意志. 自上映以来, 已经打破了 29 项记录, 现总票房已经有 $56.98$ 亿, 已经 超越 《战狼 2 》, 成为中国电影历史排名的第 1 名. 某校高三年级 10 个班共 360 人, 其中男生 240 名, 女生 120 名, 现对学生观看 《长津湖》情况进行问卷调查, 各班观影男生人数记为 $A$ 组, 各班观影女生人数记为 $B$ 组, 得到如下茎叶图.
(1)根据茎叶图完成 $2 \times 2$ 列联表, 并判断是否有 $99 \%$ 的把握认为观看《长津湖》电影与性 别有关;


(2) 若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取 6 人参加座谈, 并从参加座谈的学生
中随机抽取 2 位同学赠送电影票, 求抽取的 2 位同学均为男生的概率.


答案:
(1)数据如下



$$
\begin{aligned}
&K^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}, n=a+b+c+d \\
&=\frac{360 \times(220 \times 20-100 \times 20)^2}{240 \times 120 \times 320 \times 40}=\frac{45}{8}=5.625 < 6.635
\end{aligned}
$$
所以没有 $99 \%$ 的把握认为观看该影片与性别有关.

(2)选出的生生人数为 $6 \times \frac{120}{360}=2$, 选出的男生人数为 $6 \times \frac{240}{360}=4$.
设选出的 2 个生为 $A, B$, 选出的 4 个男生为 $a, b, c, d$, 共有 $(A, B),(A, a),(A, b),(A, c),(A, d),(B, a),(B, b),(B, c)$
$(B, d),(a, b),(a, c),(a, d),(b, c),(b, d),(c, d) 15$ 种情兄,
记抽取的 2 位同学均为男生为事件 $M$, 其中 2 位同学均为男生的有 6 种,
所以 $P(M)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.

解析:

视频讲解

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