题号:2617    题型:解答题    来源:2022年10月份高三文科数学模拟试卷
在直角坐标系 $x O y$ 中, 已知曲线 $C_1$ 的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{a}{\cos \varphi}(\varphi \text { 为参数 }) \\
y=\tan \varphi
\end{array}\right.$ , $ a > 0 $ 以坐标 原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho=a \cos \theta$.
(1) 求曲线 $C_1$ 的普通方程和曲线 $C_2$ 的直角坐标方程;
(2) 已知点 $M$ 为曲线 $C_1$ 的右焦点, 点 $P$ 在曲线 $C_2$ 上, 且直线 $P M$ 与曲线 $C_2$ 相切, 若 $\sin \angle P M O=\frac{1}{2}$, 求实数 $a$ 的值.
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答案:
(1) 因为 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=\frac{a^2}{a^2 \cos ^2 \varphi}-\tan ^2 \varphi=\frac{1}{\cos ^2 \varphi}-\tan ^2 \varphi=\frac{1-\sin ^2 \varphi}{\cos ^2 \varphi}=1$, 所以曲线 $C_1$ 的普通方程 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$,
又因为 $\rho^2=a \rho \cos \theta$, 即 $\rho^2-a \rho \cos \theta=0$,
所以曲线 $C_2$ 的直角坐标方程 $x^2-c x+y^2=0 $
(2) 由 (1) 得, 曲线 $C_2$ 为圆, 假设圆心为 $Q$, 因为直线 $P M$ 与曲线 $C_2$ 相切,
所以 $\sin \angle P M O=\frac{P Q}{Q M}=\frac{1}{2}$, 又因为 $P Q=\frac{a}{2}$, 所以 $Q M=a$.
由 (1) 得, 曲线 $C_2$ 为双曲线, 所以 $O M=\sqrt{a^2+1}$, 所以 $Q M=O M-O Q=\sqrt{a^2+1}-\frac{a}{2}$, 则 $Q M=\sqrt{a^2+1}-\frac{a}{2}=a$, 解得 $a=\frac{2 \sqrt{5}}{5} $

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