向禹老师2021考研数学一模拟卷

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向禹老师2021考研数学一模拟卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上单调递增, 则下列说法中错误的是

A.

如果函数极限

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

, 则数列极限

lim_{n \to \infty} f (n) = A

B.

如果数列极限

lim_{n \to \infty} f (n) = A

, 则函数极限

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

C.

如果数列

x_{n} \to x_{0}

且

x_{n} \neq x_{0}

, 则极限

lim_{n \to \infty} f (x_{n})

存在

D.

函数

f (x)

的间断点必然是跳跃间断点

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2. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上可导, 则下列说法中正确的是

A.

如果

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

, 则

lim_{x \to \infty} f^{'} (x) = 0

B.

如果

lim_{x \to \infty} f^{'} (x) = 0

, 则

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = 0

C.

如果

lim_{x \to \infty} f^{'} (x) = 0

, 则

lim_{x \to \infty} f (x)

存在

D.

如果

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = 0

, 则

lim_{x \to \infty} f^{'} (x) = 0

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3. 设

φ (x, y)

在

(0, 0)

的邻域内连续且

φ (0, 0) = 0

, 则函数

f (x, y) = (| x | + | y |) φ (x, y)

在

(0, 0)

处

A.

可微

B.

连续但偏导数不存在

C.

偏导数连续

D.

偏导数存在但不可微

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4. 设方程

\ln x = k x

只有两个正实根, 则

k

的取值范围为

A.

(- \infty, e)

B.

(0, \frac{1}{e})

C.

(\frac{1}{e}, + \infty)

D.

(\frac{1}{e}, 1)

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5. 设函数

f (x, y)

连续, 则累次积分

\int_{0}^{1} d x \int_{x - 1}^{\sqrt{x - x^{2}}} f (x, y) d y

等于

A.

\int_{- 1}^{1} d y \int_{0}^{y + 1} f (x, y) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{0}^{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}}} d x

B.

\int_{- 1}^{1} d y \int_{0}^{y + 1} f (x, y) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{0}^{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}}} d x

C.

\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ - \sin θ}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r + \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\cos θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

D.

\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ + \sin θ}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r + \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\sin θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

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6. 下列级数中条件收敛的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})

B.

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} + 1}{\ln n}

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n (n + 1)}

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n \ln (1 + n)}

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7. 设有向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}; β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}; γ

, 如果

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) < r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}), r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, γ) = r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}, γ)

则下列说法中错误的是

A.

向量

γ

不能被

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性表示, 但能被

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}

线性表示

B.

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, γ) = r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t})

C.

如果向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性无关, 则向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}

线性无关

D.

如果向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

能被向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}

线性表示, 则向量组

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}

能被

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, γ

线性表示

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8. 设

A

是

m \times n

矩阵,

x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T}

, 则下列说法中错误的是

A.

如果对任意

m

维列向量

b

, 方程组

A x = b

有解, 则

m ⩾ n

B.

如果

r (A) = m

, 则对任意

m

维列向量

b

, 方程组

A x = b

有解

C.

对任意

m

维列向量

b

, 方程组

A^{T} A x = A^{T} b

有解

D.

如果

r (A) = n

, 则对任意

n

维列向量

b

, 方程组

A^{T} A x = b

有解

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9. 设随机变量

X \sim t (n), Y \sim F (1, n)

, 如果

c > 0

使得

P (0 < X < c) = α

, 则

P (Y > c^{2}) =

（）

A.

1 - α

B.

α

C.

1 - 2 α

D.

2 α

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10. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n ⩾ 2)

是来自总体

N (0, σ^{2})

的简单随机样本, 令

α = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, β = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

, 则下列说法中错误的是

A.

\frac{α^{2}}{n σ^{2}}

服从

χ^{2}

分布

B.

\frac{β}{σ^{2}}

服从

χ^{2}

分布

C.

\frac{α^{2}}{β}

服从

F

分布

D.

\frac{{(X_{1} - X_{2})}^{2}}{{(X_{1} + X_{2})}^{2}}

服从

F

分布

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设函数

f (x)

满足

f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (1 - \cos x)}{1 - \sqrt{\cos 2 x}} =

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12. 极坐标曲线

r = 1 + \cos θ

在

θ = \frac{π}{3}

对应的点处的法线方程为

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13. 微分方程

y^{'''} - 3 y^{'} + 2 y = 0

的通解为

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14. 设函数

f (x) = x - [x]

, 其中

[x]

表示不超过

x

的最大整数, 令

a_{n} = \int_{- 1}^{1} f (x) \cos n π x d x, b_{n} = \int_{- 1}^{1} f (x) \sin n π x d x, n = 0, 1, 2, \dots .

令

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n π x + b_{n} \sin n π x), - \infty < x < + \infty

, 则

S (- 5) =

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15. 已知三元方程

a (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 2 (x y + y z + z x) = 1

对应的空间曲面为双叶双曲面, 则

a

的取值范围是

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16. 设随机变量

X

和

Y

相互独立,

X

服从参数为 1 的指数分布,

Y

的分布为

P (Y = 1) =

\frac{1}{4}, P (Y = 2) = \frac{3}{4}

, 则

P (1 ⩽ min {X, Y} < 2) =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设函数

f (x)

在

x = 0

处二阶可导, 且

f (0) = f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = 1

. 设曲线

y = f (x)

在点

(x, f (x))

处的切线在

x

轴上的截距为

u (x)

, 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{f (u (x))}{f (x)}

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18. 设平面区域

D_{1}

由曲线

y = | x |

, 直线

x = - 1, x = a, y = 0

所围成, 平面区域

D_{2}

由曲线

y = | x |

, 直线

x = a, x = 1, y = 0

所围成, 其中

0 < a < 1

.
(1) 求

D_{1}

绕

x

轴旋转所得旋转体的体积

V_{1}, D_{2}

绕直线

x = a

旋转所得旋转体的体积

V_{2}

.
(2) 求

V_{1} + V_{2}

的最小值.

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19. 设函数

f (x)

二阶可导,

f (0) = 1

, 且有

f^{'} (x) + 3 \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t + 2 x \int_{0}^{1} f (x t) d t + e^{- x} = 0,

求

f (x)

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20. 设

Σ

为曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

介于

z = 0

与

z = 1

之间部分的下侧,

f (x)

为连续函数, 计算

I = \iint_{Σ} [- x f (x + y) - 2 x] d y d z + [- 2 y - y f (x + y)] d z d x + [- z f (x + y)] d x d y .

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21. 已知 1 是三阶实对称矩阵

A

的一个特征值, 且

A (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & - 2 \\ 2 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 0 & - 4 \\ 0 & 2 \end{array})

(1) 求

A

的所有特征值和对应的特征向量.
(2) 如果

β = (- 1, 1, - 5)

, 求

A^{n} β

.
(3) 设向量

x = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})}^{T}

, 求方程

x^{T} A x = 0

的通解.

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22. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = \frac{λ^{2}}{2} | x | e^{- λ | x |}, - \infty < x < + \infty

其中末知参数

λ > 0, (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

为来自总体

X

的简单随机样本.
(1) 求参数

λ

的矩估计量

{\hat{λ}}_{1}

.
(2) 求参数

λ

的最大似然估计量

{\hat{λ}}_{2}

.
(3) 计算

E (\frac{1}{{\hat{λ}}_{1}^{2}})

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