单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
将一个股子重复掷 $n$ 次, 各次掷出的点数依次为 $X_1, \cdots, X_n$. 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\bar{X}=$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛于 .
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{2}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布, 若 $P(X>1)=p$, 则 $P(\max (X, Y)>1)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $p$
$\text{B.}$ $1-(1-p)^2$
$\text{C.}$ $(1-p)^2$
$\text{D.}$ $p^2$
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中抽取容量 $n$ 的一个样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 样本方差为 $S^2$, 下面错误的是（）。
$\text{A.}$ $E\left(\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}\right)=n-1$
$\text{B.}$ $D\left(S^2\right)=\frac{2 \sigma^4}{n}$
$\text{C.}$ $D\left(\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\right)^2\right)=2$
$\text{D.}$ $E\left(n S^2\right)=n \sigma^2$
设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
$\text{A.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
$\text{B.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
$\text{D.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.
设 $X \sim N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_7$ 是来自总体 $X$ 的样本, $\frac{c \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2+X_5^2+X_7^2}}(c>0)$ 服从 $t(n)$ 分布,则 $(c, n)$ 为
$\text{A.}$ $(\sqrt{3}, 3)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{3}, 2)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差，则
$\text{A.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n S^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{C.}$ $\frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$
设随机变量 $X$ 满足 $E(X)=E\left(X^3\right)=0, E\left(X^2\right)=1, D\left(X^2\right)=2$, 则根据切比雪夫不等式, $P\left\{\left|X^2+2 X-1\right| \geqslant 5\right\} \leqslant(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{25}$.
$\text{B.}$ $\frac{4}{25}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{D.}$ $\frac{6}{25}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则 $D\left(\sqrt{n} \bar{X}^2-S^2\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
$\text{B.}$ $(n-1) \sigma^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^2$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
设 $X_1, \cdots, X_n(n>1)$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则错误的是
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}}{\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\sum_{l=1}^n X_I^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \sim \chi^2(1)$
设随机变量 $X \sim U[-1,1]$, 数学期望 $E ( Y )=\frac{1}{2}$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则 $E(X Y+2 Y)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
设 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立且 $E\left(X_i\right)=1, D\left(X_i\right)=1 \quad(i=1,2,3)$, 则对于任意给定的 $\varepsilon>0$ 由切比雪夫不等式可得
$\text{A.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{B.}$ $P\left(\left|\frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{C.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{D.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-3 \varepsilon^{-2}$
已知随机变量 X 的分布律为 $P(X=k)=\frac{1}{6}(k=1,2, \cdots, 6)$. 设 $f(x)=x^2+a x+12$, 若 $E(f(X))=\frac{8}{3}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ -4 .
$\text{B.}$ -5 .
$\text{C.}$ -6 .
$\text{D.}$ -7 .
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若随机变量 $X$ 服从参数为 3 的指数分布, 即它具有概率密度函数 $f(x)=$ $3 e^{-3 x}(x \geqslant 0)$, 定义 $P\left\{X>z_\alpha\right\}=\alpha$, 求 $z_{0.5}=$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(0,3^2\right)$, 而 $X_1, \cdots, X_9$ 和 $Y_1, \cdots, Y_9$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本, 则统计量 $U=\frac{X_1+\cdots+X_9}{\sqrt{Y_1^2+\cdots+Y_9^2}}$ 服从 $\qquad$分布, 参数为
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, 则统计量 $Y=\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu^2\right.$ 服从 $\qquad$分布, 其自由度为 $\qquad$ .
设 $\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 是标准正态总体的样本, 若 $k\left(2 X_1+X_2\right)^2+X_3^2 \sim \chi^2(2)$, 则 $k=$
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为 $X$ 的简单随机样本, 则统计量
$$
Y=\frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^4(-1)^{i-1} X_i}{\sqrt{\sum_{i=5}^{10} X_i^2}} \text { 服从分布为 }
$$
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在针织品漂白工艺过程中, 需要考察温度对针织品断裂强度的影响。假设在 80 摄氏度时, 针织品的断裂强度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 现获得来自该总体的一个简单样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$, 其样本值为: $1.3,1.2,1.2,1.5,1.1$
(1) 求 $\mu$ 的置信水平为 0.9 的置信区间; (2) 如果 $\sigma=0.5$ 时, 认为该批次针织品的断裂强度是稳定的, 在显著性水平为 0.05 时, 通过该样本值判断针织品的断裂强度是否稳定.
$\left(\right.$ 上分位数表 $t_{0.05}(4)=2.13, t_{0.05}(5)=2.01, \chi_{0.05}^2(4)=9.5, \chi_{0.95}^2(4)=0.7, \chi_{0.025}^2(4)=$ $\left.11.1, \chi_{0.975}^2(4)=0.5\right)$ 。
设二维正态随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$. 已知条件概率密度
$$
\begin{aligned}
& f_{X \mid Y}(x \mid y)=A e^{-\frac{2}{3}\left(x-\frac{y}{2}\right)^2},-\infty < x < +\infty, \text { 和 } \\
& f_{Y \mid X}(y \mid x)=B e^{-\frac{2}{3}\left(y-\frac{x}{2}\right)^2},-\infty < y < +\infty .
\end{aligned}
$$
求 (I) 常数 $A$ 和 $B$;
(II) $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$;
(III) $f(x, y)$ 和 $\rho_{X Y}$.
已知随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立, $X_1$ 与 $X_2$ 都在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布, $X_3$ 与 $X_4$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的 $0-1$ 分布, 记 $Y=X_1+X_2+X_3 X_4$, 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 及概率密度 $f_Y(y)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{|x|}{\lambda}} \quad(-\infty < x < +\infty, \lambda>0) .
$$
(I) 求参数 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_1$;
(II) 求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}_2$;
(III) 判断 $\hat{\lambda}_2$ 是否为 $\lambda$ 的无偏估计量, 并说明理由.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布是正方形 $G=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 3,1 \leqslant y \leqslant 3\}$ 上的均匀分布，求随机变量 $U=|X-Y|$ 的概率密度 $p(u)$.
口袋里有 $N$ 个大小相同重量相等的球, 每个球上写上号码 $k, k=1,2, \cdots, N$, 从中任取一个球,设其号码为 $X$, 又 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \leqslant N)$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值, 将 $E \bar{X}, D \bar{X}$ 表示为 $N$ 的函数.
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_\mu}{\theta}}, & x \geqslant \mu, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta>0, \theta, \mu$ 为参数， $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本。
(I) 如果参数 $\mu$ 已知，求未知参数 $\theta$ 的极大似然估计量 $\hat{\theta}$;
(II) 如果参数 $\theta$ 已知, 求末知参数 $\mu$ 的极大似然估计量 $\hat{\mu}$.
设 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}k x, 0 < x < 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，求 $(1) k ;$ (2) $F(x)$ ；(3)对 $X$ 独立 72次观察得到 $X_1, \ldots, X_{12}$, 令 $Y=X_1+\cdots+X_2$, 利用中心极限定理, 求 $P(Y < 50)$ 的近似值。
设 $(X, Y)$ 在区域 $D=\{x>0, y>0, x+y < 1\}$ 上服从二维均匀分布, $Z=X^2$, 求:
(1) $f(x, y)$;
(2) $f_X(x)$;
(3) $P(Y>0.5)$;
(4) $f_Z(z)$
某厂新引进一台灌装机器用于生产袋装物品, 设每袋物品重量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$
(单位: 克), $\mu$ 及 $\sigma^2$ 均未知, 为掌握机器工作情况, 从该机器生产的物品中抽取了 16包, 经计算得每包平均重量为 498 克, 方差为 25 克 ${ }^2$,(1) 求 $\sigma^2$ 的置信度为 $95 \%$ 的双侧置信区间；（2）求 $\mu$ 的置信度为 $95 \%$ 的双侧置信区间。（3）如果生产标准是每包 500 克的物品, 问此时机器正常吗? 说明理由。（最后均保留 2 位小数）
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\theta x^{\theta-1}, 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}, \theta>0\right.$ 未知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是抽取的样本, (1)求 $\theta$ 的一阶矩估计 $\hat{\theta}$; (2)求 $\theta$ 的极大似然估计 $\hat{\theta}_L$ ；(3)若 $\lambda=1 / \theta$, 求 $\lambda$ 的极大似然估计 $\hat{\lambda}_L$; (4)判断上小题 $\hat{\lambda}_L$ 的无偏性, 说明理由。
设连续型随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 存在, 若对常数 $c$ 恒有 $P(X \geq c)=1$, 证明: $E(X) \geq c$.
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{l}\theta e^{-\theta x}, x>0 \\ 0, \\ x \leq 0\end{array}\right.$, 其中 $\theta>0$ 为未知参数,又设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 容量为 $n$ 的样本.
求: (1) $\theta$ 的矩估计量;
（2） $\theta$ 的极大似然估计量.
设相互独立的随机变量 $X, Y$ 分别表示从 $(0,1)$ 区间内随机取出的两个点的坐标, 令 $Z$ 表示 $X, Y$ 之间的距离。
(I) 求 $f_Z(z)$.
(II) 求 $P\left\{-\frac{1}{2} < X-Y < \frac{1}{2}\right\}$.
(III) 问随机变量 $X, Z$ 是否独立? 并说明理由.