设二维正态随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$. 已知条件概率密度

$$
\begin{aligned}
& f_{X \mid Y}(x \mid y)=A e^{-\frac{2}{3}\left(x-\frac{y}{2}\right)^2},-\infty < x < +\infty, \text { 和 } \\
& f_{Y \mid X}(y \mid x)=B e^{-\frac{2}{3}\left(y-\frac{x}{2}\right)^2},-\infty < y < +\infty .
\end{aligned}
$$


求 (I) 常数 $A$ 和 $B$;
(II) $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$;
(III) $f(x, y)$ 和 $\rho_{X Y}$.