设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
A. $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
B. $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
C. $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
D. $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.