旋转体

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。
考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
学校:_______________ 姓名:_____________ 班级:_______________ 学号:_______________


一、单选题 (共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个选项正确)
由抛物线 $y=6-x^2$ 与直线 $y=3-2 x$ 围成平面图形的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\frac{11}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{18}{5}$. $\text{C.}$ $\frac{19}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{32}{3}$.

由不等式 $a^2 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 2 a x$ 所确定的平面区域的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\left(\frac{3}{2} \pi-\sqrt{2}\right) a^2$. $\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \pi a^2$ $\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) a^2$. $\text{D.}$ $\left(\frac{3}{2} \pi-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) a^2$.

由星形线 $x=a \cos ^3 t, y=a \sin ^3 t$ 围成的平面图形的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\frac{\pi a^2}{2}$. $\text{B.}$ $\frac{3}{5} \pi a^2$ $\text{C.}$ $\frac{\pi a^2}{6}$ $\text{D.}$ $\frac{3}{8} \pi a^2$.

抛物线 $y^2=2 p x$ 及其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成的图形的面积为
$\text{A.}$ $\frac{5}{2} p^2$ $\text{B.}$ $5 p^2$ $\text{C.}$ $\frac{12}{5} p^2$ $\text{D.}$ $\frac{16}{3} p^2$

曲线 $y=x \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}$ 与其渐近线之间图形的面积为
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 6

设 $I_1=\frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\frac{4}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\tan x} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < 1 < I_2$ $\text{B.}$ $1 < I_2 < I_1$ $\text{C.}$ $I_1 < I_2 < 1$ $\text{D.}$ $I_2 < 1 < I_1$

极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin 2 x} \ln (1+t) \mathrm{dt}}{1-\cos x}$ 等于
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 8

设 $I(a, b)=\int_{-\pi}^\pi(a \cos x+2 b \sin x)^2 \mathrm{~d} x$, 则 $I(a, b)$ 在 $a^2+b^2 \leqslant 1$ 上的最大值为
$\text{A.}$ $4 \pi$ $\text{B.}$ $3 \pi$ $\text{C.}$ $2 \pi$ $\text{D.}$ $ \pi$

设封闭曲面 $\Sigma_1: x^2+y^2+z^2=1, \Sigma_2: x^2+2 y^2+z^2=1, \Sigma_3:(x-1)^2+y^2+z^2=1, \Sigma_4: x^2+y^2+$ $(z-1)^2=1$ 均取外侧, 则第二类曲面积分 $I_i=\iint_{\Sigma_i} 4 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(i=1,2,3,4)$ 中, 最大的是
$\text{A.}$ $I_1$. $\text{B.}$ $I_2$. $\text{C.}$ $I_3$. $\text{D.}$ $I_4$.

曲线 $y=\arcsin 2 \sqrt{x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$ $\text{B.}$ $\pi$ $\text{C.}$ $\frac{3}{2} \pi$ $\text{D.}$ $2 \pi$

二、填空题 (共 10 题, 每小题 5 分,共 20 分, 请把答案直接填写在答题纸上)
设 $y(x)=\int_x^{4 x} \sin \left((x-t)^2\right) \mathrm{d} t$ ,求 $y^{\prime}(x)$.


交换二次积分的次序: $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x=$


已知正四面体 $O-A B C$ (就是每个面都是全等的等边三角形) 的边长以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增大 (过程中 仍然保持正四面体), 那么当棱长变为 $3 \mathrm{~cm}$ 的时候该正四面体表面积的增大速率为


设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数,且 $\frac{f(x)}{F(x)}=-2, F(0)=1$ ,
则 $\int_0^{+\infty} F(x) \mathrm{d} x=$


设 $f(x)$ 为 $[0,3]$ 上的非负连续函数, 且满足 $f(x) \int_1^2 f(x t-x) \mathrm{d} t=2 x^2, x \in[0,3]$, 则 $f(x)$ 在 区间 $[1,3]$ 上的平均值为


$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} \mathrm{~d} x=$


计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[(3+2 \tan t)^t-3^t\right] \mathrm{d} t}{\mathrm{e}^{3 x^3}-1}$.


由曲线段 $y=\sqrt{x-\frac{1}{4}} , x \in[1,4]$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转面的面积为


已知平面曲线 $z=4-y^2$ ,其绕 $z$ 轴旋转一周形成旋转曲面,则该旋转曲面与平面 $z=0$ 所围成的空间几何形体的体积为?


已知 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(x^2+y^2\right)^2+z^4-y$
(1) 若 $x^2+y^2+z^2=\frac{1}{4},(x, y, z \neq 0)$ ,证明:
$$
\frac{\boldsymbol{F}_x^{\prime}}{2 x}+\frac{F_y^{\prime}+1}{2 y}+\frac{\boldsymbol{F}_z^{\prime}}{z}=1 .
$$
(2) 求 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=0$ 所围成立体区域的体积.


三、解答题 ( 共 10 题,满分 80 分,解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
设立体区域 $\Omega$ 是由 $O y z$ 面曲线 $y^2+z^4-4 z^2=0, z \geq 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $O x y$ 平面所围成的点 $(x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $z=u(x, y, z)$, 求重心坐标.



计算旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程



计算由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 相应于 $0 \leq t \leq 2 \pi$ 的一拱与直线 $y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积



设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 且满足 $2 f(x)+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{e}^{-x}(\sin x-\cos x)+1$.
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 求曲线 $y=f(x)(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积 $V_n$, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} V_n$.



设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的上侧, 连续函数 $f(x, y)$ 满足 $f(x, y)=2(x-y)^2+$ $\iint_{\Sigma} x\left(z^2+\mathrm{e}^z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^2+\mathrm{e}^z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left[z f(x, y)-2 \mathrm{e}^z\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 求 $\iint_{\Sigma} f(x, y) \mathrm{d} S$.



设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上 连续. 且满足 $f(x)+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=x$, 区域 $D$ 是由曲线 $y=$ $f(x)$ ' $^{\prime} y=f(2 x)$ | $y$ 成的平面图形.求 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.



求球面 $x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$ 被平面 $z=\frac{a}{4}$ 与 $z=\frac{a}{2}$ 所夹部分的面积。



计算 $\iint_{\Sigma}\left(x+y^2 z\right) d y d z+(4 y+1) d z d x+z d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 1)$ 的下侧。



求 $\int_L y d x-x d y, \mathrm{~L}$ : 圆周 $x^2+y^2=9$, 逆时针



设 $f(x)$ 连续, $\Omega: x^2+y^2 \leq u, 0 \leq z \leq \frac{1}{\pi}$.
(1) 试用柱面坐标化简三重积分 $\iiint_{\Omega}\left[f\left(x^2+y^2\right)+1\right] d v$.
(2) 若 $f(u)=\iiint_{\Omega}\left[f\left(x^2+y^2\right)+1\right] d v$. 试求 $f(u)$.



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