一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
设 $f(x)=2^x+3^x-2$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, 有
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价无穷小
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 低阶的无穷小
设$f(x)=\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+1}$则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $x=0$ 是 $f(x)=\frac{x+b \ln (1+x)}{a x-\sin x}$ 的可去间断点，求 $a, b$ 的取值范围
写出 $f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 的所有间断点及其所属类型
设函数 $y=f(x)$ 二阶可导，且满足 $y^{\prime}=(5-y) y^a$, 其中常数 $a>0$, 点 $\left(x_0, 3\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 则 $a=$
求函数 $y=2 x-\ln (4 x)^2$ 的单调递增区间为
三、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \ln \frac{\sin x}{x}$;
(3) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^2 x\right)^{\cot ^2 x}$;
(6) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \sqrt{1+\sin ^2 x}-x}$;
设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续, 且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义, 且有间断点, 则下列陈述中,哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 试说明理由; 如果是错的, 试给出一个反例.
(1) $\varphi[f(x)]$ 必有间断点;
(2) $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点;
(3) $f[\varphi(x)]$ 末必有间断点;
(4) $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点.
设函数
$$
f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^x, & x < 0 \\ a+x, & x \geqslant 0\end{cases}
$$
应当怎样选择数 $a$, 才能使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数?