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第二节连续与间断点

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

是严格单调的连续奇函数,

g (x)

是偶函数, 已知数列

{x_{n}}

, 则

A.

当

lim_{n \to \infty} f (g (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

B.

当

lim_{n \to \infty} g (f (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

C.

当

lim_{n \to \infty} f (g (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} g (x_{n})

存在, 但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

D.

当

lim_{n \to \infty} g (f (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} f (x_{n})

存在, 但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

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2. 设

f (x) = 2^{x} + 3^{x} - 2

, 则当

x \to 0

时, 有

A.

f (x)

与

x

是等价无穷小

B.

f (x)

与

x

同阶但非等价无穷小

C.

f (x)

是比

x

高阶的无穷小

D.

f (x)

是比

x

低阶的无穷小

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3. 设

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}

则

x = 0

是

f (x)

的

A.

可去间断点

B.

跳跃间断点

C.

第二类间断点

D.

连续点

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 已知

x = 0

是

f (x) = \frac{x + b \ln (1 + x)}{a x - \sin x}

的可去间断点，求

a, b

的取值范围

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5. 写出

f (x) = lim_{n \to + \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2 n}}

的所有间断点及其所属类型

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6. 设函数

y = f (x)

二阶可导，且满足

y^{'} = (5 - y) y^{a}

, 其中常数

a > 0

, 点

(x_{0}, 3)

为曲线

y = f (x)

的拐点, 则

a =

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7. 求函数

y = 2 x - \ln (4 x)^{2}

的单调递增区间为

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三、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. (1)

lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x}}

;
(2)

lim_{x \to 0} \ln \frac{\sin x}{x}

;
(3)

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{x}{2}}

;
(4)

lim_{x \to 0} {(1 + 3 \tan^{2} x)}^{\cot^{2} x}

;
(6)

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x \sqrt{1 + \sin^{2} x} - x}

;

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9. 设

f (x)

在

R

上连续, 且

f (x) \neq 0, φ (x)

在

R

上有定义, 且有间断点, 则下列陈述中,哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 试说明理由; 如果是错的, 试给出一个反例.
(1)

φ [f (x)]

必有间断点;
(2)

[φ (x)]^{2}

必有间断点;
(3)

f [φ (x)]

末必有间断点;
(4)

\frac{φ (x)}{f (x)}

必有间断点.

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10. 设函数

f (x) = {\begin{cases} e^{x}, & x < 0 \\ a + x, & x ⩾ 0 \end{cases}

应当怎样选择数

a

, 才能使得

f (x)

成为在

(- \infty, + \infty)

内的连续函数?

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