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第三节微分中值定理

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

y = f (x) = \frac{e^{x} + x \arctan x}{e^{x} + x - 1}

的渐近线条数是

A.

B.

C.

D.

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2. 设

a > \frac{e^{3}}{4}

, 则方程

a (x + 1)^{2} e^{x} = 1

的实根个数为

A.

B.

C.

D.

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3. 设函数

f (x)

具有三阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 1}{e^{x^{3}} - 1} = - \frac{1}{2}

, 则

A.

(0, 1)

是曲线

y = f (x)

的拐点.

B.

x = 0

是函数

f (x)

的极大值点.

C.

x = 0

是函数

f (x)

的极小值点.

D.

以上结论都不正确.

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 求曲线

y - x + e^{y} = 0

在点

x = 1

处的切线方程

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5. 设函数

y = f (x)

的参数方程为

x = e^{- t} - 1, y = t^{2}

，当

- 1 < x < 0

时，判断

y = f (x)

的单调性和凹凸性

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6. 设函数

y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = \ln (1 + e^{t}), \\ y = - t^{2} + 3 \end{cases}

确定, 则曲线

y = y (x)

在参数

t = 0

对应的点处的曲率

k =

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7. 设函数

y = y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = \frac{3 t}{1 + t^{3}}, \\ y = \frac{3 t^{2}}{1 + t^{3}} \end{cases}

确定, 则曲线

y = y (x)

的斜渐近线方程为

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8. (1)

a_{n + 1} - a_{n} = e^{- a_{n}}, a_{0} = 1

, 证明

a_{n} - \ln n

收敛.
(2) 设

f (x)

为单调递增函数, 且

f^{'} (x)

有界,

f (0) = 0, lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty .

设

F (x) = \int_{0}^{x} f (x) d x

，数列

{a_{n}}

满足:

a_{0} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{f (a_{n})}, b_{n} = F^{- 1} (n) .

证明:

lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = 0

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 若

f (x)

为

[0, 1]

上的单调增加的连续函数, 证明:

\frac{\int_{0}^{1} x f^{3} (x) d x}{\int_{0}^{1} x f^{2} (x) d x} \geq \frac{\int_{0}^{1} f^{3} (x) d x}{\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x} .

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10. 证明方程

x = a \sin x + b

, 其中

a > 0, b > 0

, 至少有一个正根, 并且它不超过

a + b

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11. 证明方程

x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1 = 0

有三个实根.

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12. 证明方程

\sin x + x + 1 = 0

在开区间

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

内至少有一个根.

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