一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分）
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-4 z+1=0 \\ x+y-3=0\end{array}\right.$, 曲面 $z=x^2-y^2+z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面П, 则 直线 $L$ 与平面 $\Pi$ 的位置关系是:
$\text{A.}$ $L \subset \Pi$
$\text{B.}$ $L / / \Pi$
$\text{C.}$ $L \perp \Pi$
$\text{D.}$ $L$ 与 斜交
直线 $L: \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和平面 $\pi: 3 x-2 y+7 z-8=0$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 直线 $L$ 平行于平面 $\pi$
$\text{B.}$ 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 直线 $L$ 垂直于平面 $\pi$
$\text{D.}$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 斜交
设 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-f(1,1)-2 x-y+3}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$, 则 $z=f(x, y)$ 在 $(1,1)$ 点 沿 $\boldsymbol{l}=\{1,2\}$ 方向的方向导数为
$\text{A.}$ $-\frac{4}{\sqrt{5}}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{\sqrt{5}}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 1
设向量组 ( I): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 均为 4 维列向量, $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5\right)$, 若 $\eta_1=(-1,1,0,0,0)$, $\eta_2=(0,1,3,1,0), \quad \eta_3=(1,0,5,1,1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次方程组 $A X=0$ 的一个基础解系, 则向量组 ( I) 的一个极大无关组 是 $\left(\begin{array}{l}\text { 。 }\end{array}\right.$
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_3, \alpha_5$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
原点关于直线 $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-4}{-2}$ 的对称点为
$\text{A.}$ $(-4,0,4)$
$\text{B.}$ $(4,0,4)$
$\text{C.}$ $(-4,0,-4)$
$\text{D.}$ $(4,0,-4)$
点 $M(1,0,-1)$ 到直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-2 z=0\end{array}\right.$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分）
设矢量 $a, b$ 满足 $|a+b|=|a-b|$, 若 $a=(1,2,3), b=(1,4, \lambda)$, 则 $\lambda=$ ?
与向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{2},-1)$ 平行的单位向量是
设向量 $\vec{a}=(3,-1,-2), \vec{b}=(1,2,-1)$, 则 $2 \vec{a} \times 3 \vec{b}=$
设向量 $\vec{a}=(3,1,-2), \vec{b}=(1,-2,0)$, 则 $\vec{a} \times \vec{b}=$
求经过原点, 且与两平面 $x+2 y+3 z-13=0$ 和 $3 x+y-z-1=0$ 都垂直的平面的方程。
求椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}=1$ 在点 $(1,-1,1)$ 处的切平面方程。
设向量 $\mathrm{a}=(2,0,-2), \mathrm{b}=(3,-4,0)$, 则 $\mathrm{a} \times \mathrm{b}=$
椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=15$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的切平面方程为
直线 $l$ 过点 $M(1,2,3)$ 且与两平面 $x+2 y-z=0,2 x-3 y+5 z=6$ 都平行, 则直线 $l$ 的方程为
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分）
设 $A=\left(a_{k j}\right)_{3 \times 3}$ 是3阶实方阵, $|A| \neq 0$, 记 $D(x)=\left(a_{k j}+x\right)_{3 \times 3}$及 $g(x)=\operatorname{det} D(x)$ 。（1）试求导数 $g^{\prime}(x)$ 并证明: $g^{\prime}(0)=|A| \alpha^T\left(A^{-1}\right) \alpha$, 其中向量 $\alpha^T=(1,1,1)$;
(2) 若 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)$, 求 $g^{\prime}(0)$ 。
设函数 $f(x)$ 连续， $\Sigma$ 是球面:
$$
x^2+y^2+z^2=1 \text { ，且 } a, b, c \text { 是常数. }
$$
证明:
$$
\iint_{\Sigma} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^1 f\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2} u\right) \mathrm{d} u .
$$
已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零常向量, 且 $|\vec{b}|=1$ 以及 $\angle(a, b)=\frac{\pi}{4}$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+\vec{b} x|-|\vec{a}|}{x}$.
设 $\triangle A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A(3,0,2), B(5,3,1), C(0,-1,3)$, 求该三角形的面积.
求过点 $(2,-1,3)$ 且与直线 $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+14}{-1}$ 垂直相交的直线方程.
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
设三个向量分别为 $\vec{a}=(2,-2,1), \vec{b}=(1,-1,3), \vec{c}=(1,-2,0)$, 求 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
求通过直线 $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}$ 且与直线 $L_2: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ 平行的平面方程.
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=1, \\ x+2 y=1,\end{array}\right.$ 上到坐标原点距离最近的点.