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偏导数多元导数全微分

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设正值函数

f (x, y, z)

与

g (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处的各个偏导数均存在且连续,

f (0, 0, 0) =

g (0, 0, 0) = 1, f (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处沿方向

n

的方向导数

{\frac{\partial f}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} = 1, g (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处沿方向

n

的方向导数

{\frac{\partial g}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} = 2

, 则

{\frac{\partial (\frac{1}{f} + \frac{1}{g})}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} =

A.

B.

C.

-1

D.

-3

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2. 设

f (x, y)

为可微函数,

f_{y}^{'} (x, x + y) = 2 y, f (x, x) = x^{2}

, 则

f_{x}^{'} (x, y) =

A.

4 x

B.

4 x + 2 y

C.

2 y

D.

4 x - 2 y

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3. 设函数

f (x)

连续, 满足

\int_{0}^{1} f (x) d x = 0

. 若

\int_{0}^{1} e^{1 - x} f (x e^{1 - x}) d x = 1

, 则

\int_{0}^{1} x e^{1 - x} f (x e^{1 - x}) d x

=

A.

-1

B.

C.

D.

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4. 若二元函数

f (x, y)

存在二阶连续偏导数, 且满足

f (x, y) = - f (y, x)

, 则下列结论中, 错误的是

A.

f_{11}^{''} (x, y) = f_{22}^{''} (x, y)

B.

f_{11}^{''} (x, y) = - f_{22}^{''} (y, x)

C.

f_{12}^{''} (x, y) = f_{21}^{''} (x, y)

D.

f_{12}^{''} (x, y) = - f_{21}^{''} (y, x)

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5. 已知二元函数

F (x, y) = f (x, y) φ (x, y)

, 其中

φ (x, y)

在点

(0, 0)

处连续, 且

f (0, 0) = 0

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} f_{x}^{'} (x, y) = lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} f_{y}^{'} (x, y) = 0

, 则

F (x, y)

在点

(0, 0)

处

A.

不连续

B.

连续, 但偏导数不存在

C.

连续, 偏导数存在但不可微

D.

可微

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6. 设

f (x, y)

为可微函数,

f_{y}^{'} (x, x + y) = 2 y, f (x, x) = x^{2}

, 则

f_{x}^{'} (x, y) =

A.

4 x

B.

4 x + 2 y

C.

2 y

D.

4 x - 2 y

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7. 设

f (x, y) = {\begin{array}{cl} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{array}

则

f (x, y)

在点

(0, 0)

处

A.

可微, 且取极值

B.

可微但不取极值

C.

不可微,但取极值

D.

不可微,也不取极值

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8. 若函数

z = f (x, y)

在点

(1, 1)

处连续, 且

lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ y = 1 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - 2 x + 4 y - 1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 3} - 1} = 2

, 则

A.

f (x, y)

在点

(1, 1)

处不存在偏导数.

B.

f (x, y)

在点

(1, 1)

处存在偏导数但不可微.

C.

f (x, y)

在点

(1, 1)

处可微, 且

{d z |}_{(1.1)} = 2 d x - 4 d y

D.

f (x, y)

在点

(1, 1)

处可微, 且

{d z |}_{(1.1)} = - 2 d x + 4 d y

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

z = {(e^{x y} + x)}^{x}, {d z |}_{(1, 0)} =

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10. 已知

f (x, y) = x + (y - 1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}

, 则

f_{x} (x, 1) =

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11.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\arctan (x^{3} + y^{3})}{x^{2} + y^{2}} =

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12. 微分方程

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = e^{- 2 x}

的通解为

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13. 已知

f (x, y) = x + (y - 1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}

, 则

f_{x} (x, 1) =

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14. 设

z = x y e^{x^{2} + y^{2}}

, 求

z_{x y}^{''}

。

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15. 求函数

u = x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y

在

D : x^{2} + y^{2} \leq 9

上的最值。

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16. 设

u = x^{2} + x y^{2} + y^{3}

. 则

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设函数

u = f (x y, g (x))

, 其中

f

具有二阶连续偏导数,

g (x)

可导且在

x = 1

处取到极值

g (1) = 1, 求 {\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} |}_{(1.1)}

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18. 已知函数

z = z (x, y)

由方程

x y = e^{x z} - 2 z

确定, 求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}

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19. 设

z = x^{2} y + \ln (x + y) + \tan 2

, 求

d z

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20. 设

u = f (4 x y, 2 x - 3 y)

, 其中

f

一阶偏导连续, 求

\frac{\partial u}{\partial y}

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21. 设

z = z (x, y)

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y z = 100

确定.求

\frac{\partial z}{\partial y}

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22. 求函数

f (x, y) = x^{3} - y^{3} + 3 x^{2} + 3 y^{2} - 9 x

的极值

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他的试卷

第四节一元函数微积分方法第三节微分中值定理第二节连续与间断点函数与极限测试1