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第四节一元函数微积分方法

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

满足

f^{'} (0) = 0, f^{'} (x) + [f (x)]^{3} = x^{2}

, 则

A.

f (0)

是

f (x)

的极大值.

B.

f (0)

是

f (x)

的极小值.

C.

(0, f (0))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f (0)

不是

f (x)

的极值,

(0, f (0))

也不是曲线

y = f (x)

的拐点.

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2. 点

P (1, 0, 1)

到直线

{\begin{cases} x - y - z + 1 = 0, \\ x + y - 3 z = 0 \end{cases}

的距离

d =

（　　）

A.

\frac{\sqrt{2}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\sqrt{2}

D.

\sqrt{3}

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3. 设函数

f (x, y)

连续,

f (0, 0) = 0

, 又设

F (x, y) = | x - y | f (x, y)

, 则

F (x, y)

在点

(0, 0)

处

A.

连续; 但不可微.

B.

连续, 但偏导数不存在.

C.

偏导数存在, 但不可微.

D.

可微.

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4. 若

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{f (x, y) - f (0, 0) - x^{3} - 2 y^{3}}{1 - \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 2

, 则下列结论不正确的是

A.

f (x, y)

在

(0, 0)

点连续.

B.

f_{x}^{'} (0, 0) = f_{y}^{'} (0, 0) = 0

C.

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微.

D.

f (x, y)

在点

(0, 0)

处取极大值.

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5. 函数

y = \frac{(x + 1)^{2}}{x}

的图形有

n

条渐近线, 则

n =

（　　）

A.

B.

C.

D.

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6. 设函数

y = y (x)

由方程

\ln (x^{2} + y^{2}) = \arctan \frac{y}{x}

确定, 且满足

y (1) = 0

, 则

y^{''} (1) =

（　　）

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

D.

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7. 曲线

y = x \ln (e + \frac{1}{x}) (x > 0)

的渐近线条数为

A.

B.

C.

D.

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8. 设函数

f (x)

可导, 且

f^{'} (x) > 0, g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

. 若

g (1) = 1, g (3) = 7

, 则

g (2)

的值可能为

A.

B.

C.

D.

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9. 已知曲面

z = 4 - x^{2} - y^{2}

上点

P

处的切平面平行于平面

2 x + 2 y + z - 1 = 0

, 则点

P

的坐标是

A.

(1, - 1, 2)

B.

(- 1, 1, 2)

C.

(1, 1, 2)

D.

(- 1, - 1, 2)

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10. 设

f (x)

在点

x = a

处可导, 那么

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - 2 h)}{h} =

A.

3 f^{'} (a)

B.

2 f^{'} (a)

C.

f^{'} (a)

D.

\frac{1}{3} f^{'} (a)

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 求

f (x) = | x e^{- x} |

的导数

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12. 已知

f (x)

可导，

y = f (e^{x^{2}})

，求

d y

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13. 设

y

是由方程

y^{3} (x + y) = x^{3}

所确定的隐函数，计算

\int \frac{1}{y^{2}} d x

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14. 设

Ω

是由锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与平面

z = 1

围成的锥体, 若其体密度为

ρ = 1

, 则

Ω

对

z

轴的转动惯量

I_{z} =

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15. 曲线

y = \sqrt{\frac{x^{3}}{2 + x}} \cos (2 \arctan x)

的斜渐近线方程为

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16. 设某商品的需求函数

Q = Q (p)

, 需求弹性

η = \frac{p}{60 - p} (η > 0), p

为单价 (万元), 则当

p = 10

万元时, 商品的总收益对白身价格的弹性

η_{1}

为

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17. 确定常数

b

, 使得直线

y = 9 x + b

为曲线

y = x^{3} - 3 x

的切线;

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18. 求函数

f (x) = (x + 1) \ln (x + 1)

的单调区间和极值;

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19. 已知

f^{'} (1) = 2

, 则

lim_{x \to} \frac{f (1 + 3 x) - f (1 + x)}{x} =

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20. 由

e^{x y} + y \ln x = \cos 2 x

确定函数

y (x)

, 则导函数

y^{'} =

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

21. 若曲线

y = x^{2} + a x + b

与

2 y = x y^{3} - 1

在点

(1, - 1)

处相切, 求常数

a, b

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22. 设

f (x)

为连续函数, 且满足

f (x) = x^{2} - x \cdot f (2) + 2 \int_{0}^{1} f (x) d x

，求

f (x)

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23. 求函数

y (x) = \frac{x \int_{0}^{\frac{1}{x}} {(e^{t} + \tan t)}^{\frac{1}{(1 + t)} d t}}{\sin \frac{1}{x}}

的斜渐近线方程.

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24.

p^{2} > 4 q, q \neq 0, y = \frac{1}{x^{2} + p x + q}, 求 y^{(n)}

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25. 设函数

f (x) = x \ln (1 - x^{2})

，求

f^{(11)} (0)

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26. 设

f (x) = \tan x \cdot \tan (2 x) \cdot \dots \cdot \tan (2022 x)

, 求

f^{(2024)} (0)

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27. 要制作一个体积为

V

的圆柱形无盖铁桶, 问如何确定其底面半径和高才能用料最省?

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28. 设函数

f

在

(- \infty, + \infty)

上有连续二阶导数, 且满足方程

x f^{'} (x) = f (x) + 140 x^{6} 。

(1) 求

f (x)

的表达式;
(2) 问曲线

y = f (x)

是否有拐点? 请说明理由。
(3) 是否存在函数

f

, 它在开区间

(0, 1)

上大于零, 并满足上面的方程, 且曲线

y = f (x) (x \in [0, 1])

与直线

x = 1

和

y = 0

所围的图形

D

的面积为 2 ? 请说明理由。

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29. 求函数

y = \frac{2 x}{1 + x^{2}}

的极值与拐点.

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30. 设

f (x)

在

[0, 2]

上连续, 在

(0, 2)

可导, 且

2 f (0) = \int_{0}^{2} f (x) d x

。证明:
(1)

\exists η \in (0, 2)

, 使

f (η) = f (0)

;
(2) 对任意实数

λ, \exists ξ \in (0, 2)

, 使

f^{'} (ξ) + λ (f (ξ) - f (0)) = 0

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