一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(x)+[f(x)]^3=x^2$, 则
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值.
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
点 $P(1,0,1)$ 到直线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-3 z=0\end{array}\right.$ 的距离 $d=$ （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$.
设函数 $f(x, y)$ 连续, $f(0,0)=0$, 又设 $F(x, y)=|x-y| f(x, y)$, 则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$处
$\text{A.}$ 连续; 但不可微.
$\text{B.}$ 连续, 但偏导数不存在.
$\text{C.}$ 偏导数存在, 但不可微.
$\text{D.}$ 可微.
若 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)-x^3-2 y^3}{1-\cos \sqrt{x^2+y^2}}=2$, 则下列结论不正确的是
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续.
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)=f_y^{\prime}(0,0)=0$.
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微.
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极大值.
函数 $y=\frac{(x+1)^2}{x}$ 的图形有 $n$ 条渐近线, 则 $n=$ （ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln \left(x^2+y^2\right)=\arctan \frac{y}{x}$ 确定, 且满足 $y(1)=0$, 则 $y^{\prime \prime}(1)=$ （ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 20
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right) \quad(x>0)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)>0, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$. 若 $g(1)=1, g(3)=7$, 则 $g(2)$ 的值可能为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导, 那么 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-2 h)}{h}=$
$\text{A.}$ $3 f^{\prime}(a)$
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(a)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} f^{\prime}(a)$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
求 $f(x)=\left|x e^{-x}\right|$ 的导数
已知 $f(x)$ 可导， $y=f\left(e^{x^2}\right)$ ，求 $d y$
设 $y$ 是由方程 $y^3(x+y)=x^3$ 所确定的隐函数，计算 $\int \frac{1}{y^2} d x$
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 围成的锥体, 若其体密度为 $\rho=1$, 则 $\Omega$ 对 $z$ 轴的转动惯量 $I_z=$
曲线 $y=\sqrt{\frac{x^3}{2+x}} \cos (2 \arctan x)$ 的斜渐近线方程为
设某商品的需求函数 $Q=Q(p)$, 需求弹性 $\eta=\frac{p}{60-p}(\eta>0), p$ 为单价 (万元), 则当 $p=10$万元时, 商品的总收益对白身价格的弹性 $\eta_1$ 为
确定常数 $b$, 使得直线 $y=9 x+b$ 为曲线 $y=x^3-3 x$ 的切线;
求函数 $f(x)=(x+1) \ln (x+1)$ 的单调区间和极值;
已知 $f^{\prime}(1)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow} \frac{f(1+3 x)-f(1+x)}{x}=$
由 $e^{x y}+y \ln x=\cos 2 x$ 确定函数 $y(x)$, 则导函数 $y^{\prime}=$
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
若曲线 $y=x^2+a x+b$ 与 $2 y=x y^3-1$ 在点 $(1,-1)$ 处相切, 求常数 $a, b$.
设 $f(x)$ 为连续函数, 且满足 $f(x)=x^2-x \cdot f(2)+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $f(x)$.
求函数 $y(x)=\frac{x \int_0^{\frac{1}{x}}\left(\mathrm{e}^t+\tan t\right)^{\frac{1}{(1+t)} \mathrm{d} t}}{\sin \frac{1}{x}}$ 的斜渐近线方程.
$p^2>4 q, q \neq 0, y=\frac{1}{x^2+p x+q} \text {, 求 } y^{(n)}$
设函数 $f(x)=x \ln \left(1-x^2\right)$ ，求 $f^{(11)}(0)$
设 $f(x)=\tan x \cdot \tan (2 x) \cdot \ldots \cdot \tan (2022 x)$, 求 $f^{(2024)}(0)$.
要制作一个体积为 $V$ 的圆柱形无盖铁桶, 问如何确定其底面半径和高才能用料最省?
设函数 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续二阶导数, 且满足方程
$$
x f^{\prime}(x)=f(x)+140 x^6 \text { 。 }
$$
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 问曲线 $y=f(x)$ 是否有拐点? 请说明理由。
(3) 是否存在函数 $f$, 它在开区间 $(0,1)$ 上大于零, 并满足上面的方程, 且曲线 $y=f(x)(x \in[0,1])$ 与直线 $x=1$ 和 $y=0$ 所围的图形 $D$ 的面积为 2 ? 请说明理由。
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 可导, 且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) d x$ 。 证明:
(1) $\exists \eta \in(0,2)$, 使 $f(\eta)=f(0)$;
(2) 对任意实数 $\lambda, \exists \xi \in(0,2)$, 使 $f^{\prime}(\xi)+\lambda(f(\xi)-f(0))=0$