一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x, y)=x^2+2 y+y^2+x-y+1$, 则下面结论正确的是
$\text{A.}$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点且为极大值点
$\text{B.}$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 是极小值点
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点但不是极值点
$\text{D.}$ 点 $(0,0)$ 是$f(x, y)$ 极大值点
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma=$.
$\text{A.}$ $\pi R^3$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi R^3}{3}$
$\text{C.}$ $\pi R^2$
$\text{D.}$ $2 \pi R^2$
设函数 $f(x)=\iint_{u^2+v^2 \leqslant x^2} \arctan \left(1+\sqrt{u^2+v^2}\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v(x>0)$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{-2 x}-1+2 x}=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{B.}$ $-\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
设 $f$ 是连续函数, 积分区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ 且 $y \geq 0$, 则 $\iint_D f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 可化为
$\text{A.}$ $\pi \int_0^1 r f(r) \mathrm{d} r$
$\text{B.}$ $2 \pi \int_0^1 r f(r) \mathrm{d} r$
$\text{C.}$ $2 \pi \int_0^1 f(r) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\pi \int_0^1 f(r) d r$
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_y^{1-\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^2 d x \int_0^{\sqrt{2 x-x^2}} f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d \rho \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) d \theta$
$\text{D.}$ $\int_0^{\sqrt{2}} d \rho \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \theta+\int_{\sqrt{2}}^2 d \rho \int_0^{\arccos \frac{\rho}{2}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \theta$
设 $D$ 是以 $A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1)$ 为三顶点的三角形, 则 $I=$ $\iint_D\left[\sin (x y) \sqrt{x^2+3 y^2+1}+3 x+3 y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 0
设 $I_1=\iint_D \sin \left|\frac{x-y}{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设平面区域 $D$ 是由 $y=x, x=1$ 及 $x$ 轴所围成，二重积分 $\iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} d \sigma$ 转换成平面极坐标系下的二次积分，可表示为?
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} 1 d r$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} 1 d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\sin\theta}} 1 d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\sin\theta}} 1 d r$
函数 $f(x, y)$ 连续，交换二重积分 $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x$ 次序，该二重积分可表示为?
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^3}^x f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^4}^x f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^2}^x f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^5}^x f(x, y) d y$
已知平面区域 $D_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}, D_2=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}$, $D_3=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi\right.\right\}$, 记 $I_1=\iint_{D_1} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_{D_2} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, $I_3=\iint_{D_3} \mathrm{e}^{-x^2} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 则
$\text{A.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
计算积分 $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} d \theta \int_0^{2 \sin \theta}\left[\sin \theta+\cos \theta \sqrt{1+r^2 \sin ^2 \theta}\right] r^2 d r $
设 $f(x, y)$ 满足 $f(x, 1)=0, f_y^{\prime}(x, 0)=\sin x, f_{y y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x$, 则 $f(x, y)=$
若 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{-x}$, 则 $\int_1^{+\infty} \frac{f(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x=$ ________ .
设 $D: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1, \operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\iint_D \max \{x, y\} \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
已知 $f(x, y)=x y+x^2 y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: y=x, y=0, x=1$ 所围成区域, 则
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=
$$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant x^2-2, y \leqslant x \leqslant 1\right\}$, 则二重积分 $\iint_D x\left(2 \mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
若常数 $a>0$, 则二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq a^2} \sqrt{a^2-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
设 $\mathrm{D}: \mathrm{y}=\mathrm{x}, \mathrm{y}=-\mathrm{x}, \mathrm{x}=2$ 直线所围平面区域.则 $\iint_D(y+2) d \sigma=$
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \mathrm{e}^{\mathrm{e}^2-y^2}, & x < 0, \\ |x-y|, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$,计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$.
计算二重积分 $\iint_D\left[\frac{x^2-x y+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x-1) y^2\right] \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant 2 x$, $y \geqslant 0$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x+y \geqslant 0\right\}$, 求 $\iint_D \frac{1+x y^2}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2+2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geqslant 2, x \leqslant 1\right\}$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 3, x \geq 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 3, x \geq 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$.
设二元函数 $f(x, y)$ 连续, 且满足
$f(x, y)=x^2 \oint_L f(x, y) \mathrm{d} s+x y \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma-1 \text { ， }
$
其中 $D$ 为圆周 $L: x^2+y^2=1$ 所围成的闭区域.
(1) 试求 $f(x, y)$ 的表达式;
(2) 试证明: $\oint_L y f(x, y) \mathrm{d} x+x f(x, y) \mathrm{d} y=\frac{\pi}{2} \oint_L f(x, y) \mathrm{d} s$ ，
其中 $L$ 为逆时针方向.
求二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 D: $1 \leq x^2+y^2 \leq 9$
求三重积分 $\iiint_{\Omega} x y z^2 d V, \Omega$ : 平面 $\mathrm{x}=0, \mathrm{x}=3, \mathrm{y}=0, \mathrm{y}=2, \mathrm{z}=0, \mathrm{z}=1$ 所围区域
设 $\sum$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $\mathrm{z}=1$ 所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求
$$
\iint_{\Sigma} 3 x d y d z-2 y z d z d x+z^2 d x d y
$$