导出试卷

打印试卷试卷白板

第七节重积分

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x, y) = x^{2} + 2 y + y^{2} + x - y + 1

, 则下面结论正确的是

A.

点

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

是

f (x, y)

的驻点且为极大值点

B.

点

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

是极小值点

C.

点

(0, 0)

是

f (x, y)

的驻点但不是极值点

D.

点

(0, 0)

是

f (x, y)

极大值点

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq R^{2}}

, 则

\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d σ =

A.

π R^{3}

B.

\frac{2 π R^{3}}{3}

C.

π R^{2}

D.

2 π R^{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设函数

f (x) = \iint_{u^{2} + v^{2} ⩽ x^{2}} \arctan (1 + \sqrt{u^{2} + v^{2}}) d u d v (x > 0)

, 则

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{e^{- 2 x} - 1 + 2 x} =

A.

- \frac{π^{2}}{8}

B.

- \frac{π^{2}}{4}

C.

\frac{π^{2}}{4}

D.

\frac{π^{2}}{8}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 设

f

是连续函数, 积分区域

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

且

y \geq 0

, 则

\iint_{D} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x d y

可化为

A.

π \int_{0}^{1} r f (r) d r

B.

2 π \int_{0}^{1} r f (r) d r

C.

2 π \int_{0}^{1} f (r) d r

D.

π \int_{0}^{1} f (r) d r

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 累次积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{2 \cos θ} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d ρ

等于

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1 - \sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{2} d x \int_{0}^{\sqrt{2 x - x^{2}}} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{2} d ρ \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) d θ

D.

\int_{0}^{\sqrt{2}} d ρ \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d θ + \int_{\sqrt{2}}^{2} d ρ \int_{0}^{\arccos \frac{ρ}{2}} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d θ

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 设

D

是以

A (1, 1), B (- 1, 1), C (- 1, - 1)

为三顶点的三角形, 则

I =

\iint_{D} [\sin (x y) \sqrt{x^{2} + 3 y^{2} + 1} + 3 x + 3 y] d x d y =

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 设

I_{1} = \iint_{D} \sin | \frac{x - y}{2} | d x d y, I_{2} = \iint_{D} \sin {(\frac{x - y}{2})}^{2} d x d y, I_{3} = \iint_{D} \sin {(\frac{x - y}{2})}^{3} d x d y

, 其中

D =

{(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ⩽ 2}

, 则

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

C.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

D.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

8. 设平面区域

D

是由

y = x, x = 1

及

x

轴所围成，二重积分

\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d σ

转换成平面极坐标系下的二次积分，可表示为?

A.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ}} 1 d r

B.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ}} 1 d r

C.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} 1 d r

D.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} 1 d r

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

9. 函数

f (x, y)

连续，交换二重积分

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{\sqrt{y}} f (x, y) d x

次序，该二重积分可表示为?

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{3}}^{x} f (x, y) d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{4}}^{x} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{x^{5}}^{x} f (x, y) d y

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 已知平面区域

D_{1} = {(x, y) | 0 ⩽ y ⩽ x ⩽ \frac{π}{2}}, D_{2} = {(x, y) | 0 ⩽ x ⩽ y ⩽ \frac{π}{2}}

D_{3} = {(x, y) | \frac{π}{2} ⩽ x ⩽ y ⩽ π}

, 记

I_{1} = \iint_{D_{1}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y, I_{2} = \iint_{D_{2}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y

I_{3} = \iint_{D_{3}} e^{- x^{2}} \sin y d x d y

, 则

A.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{1} < I_{3} < I_{2}

D.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 计算积分

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} [\sin θ + \cos θ \sqrt{1 + r^{2} \sin^{2} θ}] r^{2} d r

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 设

f (x, y)

满足

f (x, 1) = 0, f_{y}^{'} (x, 0) = \sin x, f_{y y}^{''} (x, y) = 2 x

, 则

f (x, y) =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 若

\int_{0}^{x} f (t) d t = x e^{- x}

, 则

\int_{1}^{+ \infty} \frac{f (\ln x)}{x} d x =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14.

\int_{0}^{1} \ln (1 + \sqrt{x}) d x =

________ .

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

15. 设

D : 0 ⩽ x ⩽ 1, 0 ⩽ y ⩽ 1, sgn x = {\begin{array}{cl} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ - 1, & x < 0, \end{array}

则

\iint_{D} max {x, y} sgn (x - y) d x d y =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

16. 已知

f (x, y) = x y + x^{2} y \iint_{D} x y f (x, y) d x d y

, 其中

D : y = x, y = 0, x = 1

所围成区域, 则

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

17. 设区域

D = {(x, y) ∣ y ⩾ x^{2} - 2, y ⩽ x ⩽ 1}

, 则二重积分

\iint_{D} x (2 e^{y} - e^{- y}) d x d y =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

18. 若常数

a > 0

, 则二重积分

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq a^{2}} \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} d x d y =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

19. 二重积分

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} d x d y =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

20. 设

D : y = x, y = - x, x = 2

直线所围平面区域.则

\iint_{D} (y + 2) d σ =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

21. 函数

f (x, y) = {\begin{cases} x y e^{e^{2} - y^{2}}, & x < 0, \\ | x - y |, & x ⩾ 0, \end{cases}

区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, y ⩾ 0}

,计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d σ

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

22. 计算二重积分

\iint_{D} [\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + (x - 1) y^{2}] d σ

, 其中

D : x^{2} + y^{2} ⩽ 2 x

y ⩾ 0

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

23. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1, x + y ⩾ 0}

, 求

\iint_{D} \frac{1 + x y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}} d σ

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

24. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{(x - y)^{2} + 2}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩾ 2, x ⩽ 1}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

25. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 3, x \geq 0}

, 计算二重积分

I = \iint_{D} \ln (1 + x^{2} + y^{2}) d σ

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

26. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 3, x \geq 0}

, 计算二重积分

I = \iint_{D} \ln (1 + x^{2} + y^{2}) d σ

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

27. 设二元函数

f (x, y)

连续, 且满足

f (x, y) = x^{2} \oint_{L} f (x, y) d s + x y \iint_{D} f (x, y) d σ - 1 ，

其中

D

为圆周

L : x^{2} + y^{2} = 1

所围成的闭区域.
(1) 试求

f (x, y)

的表达式;
(2) 试证明:

\oint_{L} y f (x, y) d x + x f (x, y) d y = \frac{π}{2} \oint_{L} f (x, y) d s

，

其中

L

为逆时针方向.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

28. 求二重积分

\iint_{D} e^{x^{2} + y^{2}} d σ

, 其中 D:

1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

29. 求三重积分

∭_{Ω} x y z^{2} d V, Ω

: 平面

x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1

所围区域

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

30. 设

\sum

是锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与平面

z = 1

所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求

\iint_{Σ} 3 x d y d z - 2 y z d z d x + z^{2} d x d y

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。

他的试卷

第六节不定积分与定积分偏导数多元导数全微分第四节一元函数微积分方法第三节微分中值定理第二节连续与间断点

第七节 重积分

数学

试卷二维码

试卷白板

他的试卷

第七节重积分