单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\frac{a-b}{c-b}=$ $\frac{\sin C}{\sin A+\sin B}$, 则 $A=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2 \pi}{3}$
在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$, 若 $b$ $=2 a \sin B$, 则角 $A$ 等于
$\text{A.}$ $30^{\circ}$
$\text{B.}$ $45^{\circ}$
$\text{C.}$ $60^{\circ}$
$\text{D.}$ $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
在 $\triangle A B C$ 中, $B C=3, \sin B+\sin C=\frac{\sqrt{10}}{3} \sin A$, 且 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} \sin A$, 则 $A=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $(a+b+c)(b+c-a)=2 b c$, 那么 $\triangle A B C$ 是
$\text{A.}$ 锐角三角形
$\text{B.}$ 直角三角形
$\text{C.}$ 钝角三角形
$\text{D.}$ 无法确定
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\frac{c^2-a^2-b^2}{2 a b}>0$, 则 $\triangle A B C$ 一定是
$\text{A.}$ 锐角三角形
$\text{B.}$ 直角三角形
$\text{C.}$ 针角三角形
$\text{D.}$ 等边三角形
在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为三个内角 $A, B, C$ 的对边, 若 $a=2, b=1, B=29^{\circ}$, 则此三角形解的情况是
$\text{A.}$ 无解
$\text{B.}$ 有一解
$\text{C.}$ 有两解
$\text{D.}$ 有无数解
在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a=18, b=20, A=150^{\circ}$, 这个三角形解的情况是
$\text{A.}$ 一解
$\text{B.}$ 两解
$\text{C.}$ 无解
$\text{D.}$ 不确定
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $a \sin B=b \sin C$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为
$\text{A.}$ $\frac{a^2 \sin 2 C}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{b^2 \sin 2 A}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{c^2 \sin 2 B}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{12}$
) 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$, 设 $\triangle A B C$ 的面积为 $S$, 则 $\frac{S}{a^2+4 b c}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{12}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{18}$
锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 若 $a^2+b^2=5 c^2$, 则 $\cos C$的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{C.}$ $\left[\frac{4}{5}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{4}{5}, 1\right)$
在锐角三角形 $A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且满足 $\frac{a}{2}+a \cos B=\frac{c}{2}$, 则 $\frac{\tan B-\tan A}{2 \tan A \cdot \tan B}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, A=60^{\circ}, b=3 c$, 角 $A$的平分线交 $B C$ 于点 $D$, 且 $B D=\sqrt{7}$, 则 $\cos \angle A D B$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{21}}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$
$\text{D.}$ $\pm \frac{\sqrt{21}}{7}$
已知点 $G$ 为三角形 $A B C$ 的重心, 且 $|\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}|=|\overrightarrow{G A}-\overrightarrow{G B}|$, 当 $\angle C$ 取最大值时, $\cos C=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的 “三斜求积” 公式. 设 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 面积为 $S$, “三斜求积” 公式表示为 $S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2 c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$. 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $a^2 \sin C=6 \sin A,(a+c)^2=16+b^2$, 则用 “三斜求积” 公式求得 $\triangle A B C$ 的面积为
已知三角形的内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $a=\sqrt{2}, b^2-c^2=$ 6 , 则角 $A$ 最大时, 三角形 $A B C$ 的面积等于
已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边, 若 $b=4+2 \sqrt{2}-c$, $\cos B=\frac{3}{4}, \tan C=-\sqrt{7}$, 则 $a=$
在 $\triangle A B C$ 中, $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 又 $a=2 . c=\sqrt{6} . C=$ $\frac{\pi}{3}$, 则 $b=$
在 Rt $\triangle A B C$ 中, 斜边为 $A B$, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, 若 $\tan \angle B A D=\frac{\sqrt{2}}{4}, \sin \angle A D C \cdot \sin B=\frac{1}{3}$, 则 $\frac{A B^2+A D^2}{A B \cdot A D}=$
在 $\triangle A B C$ 中 (角 $A$ 为最大内角, $a, b, c$ 为 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 所对的边) 和 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 中, 若 $\sin A=\cos A_1, \sin B=\cos B_1, \sin C=\cos C_1$, 则 $\frac{4 \sqrt{5} S_{\triangle A B C}}{a^2-b^2-c^2}=$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $B=60^{\circ}, b=4$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $c^2=(a-$ $b)^2+a b$, 且 $c=\sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为
锐角 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且满足 $(a-b)(\sin A+\sin B)=(c-b) \sin C$, 若 $a=\sqrt{3}$, 则 $b+c$ 的取值范围是
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\sin (A+C)$ $\left(\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}\right)=\frac{\sin A}{\sin C}, B=\frac{\pi}{3}$, 则 $a+c$ 的取值范围是