单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x \mid x < 1\}, B=\left\{x \mid 3^{x} < 1\right\}$, 则（ ）
$\text{A.}$ $A \cap B=\{x \mid x < 0\}$
$\text{B.}$ $A \cup B=R$
$\text{C.}$ $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}>1\}$
$\text{D.}$ $A \cap B=\emptyset$
如图, 正方形 $A B C D$ 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取 一点, 则此点取自黑色部分的概率是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}$
设有下面四个命题
$p_{1}$ : 若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$, 则 $z \in R$;
$p_{2}$ : 若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$, 则 $z \in R$;
$p_{3}$ : 若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} \in R$, 则 $z_{1}=\overline{z_{2}}$;
$p_{4}$ : 若复数 $z \in R$, 则 $z \in R$.
其中的真命题为
$\text{A.}$ $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{3}$
$\text{B.}$ $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{4}$
$\text{C.}$ $\mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$
$\text{D.}$ $\mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{4}$
记 $\mathrm{S}_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公 差为 ( )
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递减, 且为奇函数. 若 $f(1)=-1$
, 则满足 $-1 \leqslant \mathrm{f}(\mathrm{x}-2) \leqslant 1$ 的 $\mathrm{x}$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $[-2,2]$
$\text{B.}$ $[-1,1]$
$\text{C.}$ $[0,4]$
$\text{D.}$ $[1,3]$
$\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)(1+x)^{6}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为
$\text{A.}$ 15
$\text{B.}$ 20
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 35
某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等
腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体
的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 14
$\text{D.}$ 16
如图程序框图是为了求出满足 $3^{n-} 2^{n}>1000$ 的最小偶数 $n$, 那么在
和
两个空白框中, 可以分别填入 ( )
$\text{A.}$ $A>1000$ 和 $n=n+1$
$\text{B.}$ $A>1000$ 和 $n=n+2$
$\text{C.}$ $\mathrm{A} \leqslant 1000$ 和 $n=n+1$
$\text{D.}$ $\mathrm{A} \leqslant 1000$ 和 $\mathrm{n}=\mathrm{n}+2$
已知曲线 $C_{1}: y=\cos x, C_{2}: y=\sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$, 则下面结论正确的是（）
$\text{A.}$ 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线 向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 得到曲线 $C_{2}$
$\text{B.}$ 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度, 得到曲线 $C_{2}$
$\text{C.}$ 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向 右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 得到曲线 $C_{2}$
$\text{D.}$ 把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向 左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度, 得到曲线 $C_{2}$
已知 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, 过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$, $I_{2}$, 直线 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点, 直线 $I_{2}$ 与 $C$ 交于 $D 、 E$ 两点, 则 $|A B|+|D E|$ 的 最小值为 ( )
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ 14
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 10
设 $x 、 y 、 z$ 为正数, 且 $2^{x}=3^{y}=5^{2}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $2 x < 3 y < 5 z$
$\text{B.}$ $5 z < 2 x < 3 y$
$\text{C.}$ $3 y < 5 z < 2 x$
$\text{D.}$ $3 y < 2 x < 5 z$
几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大 家学习数学的兴趣, 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软 件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1, 1, 2, 1，2，4，1，2，4, $8,1,2,4,8,16, \ldots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N>100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是（ ）
$\text{A.}$ 440
$\text{B.}$ 330
$\text{C.}$ 220
$\text{D.}$ 110
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ},|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1$, 则 $|\vec{a}+2 \vec{b}|=$.
设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y \leqslant 1 \\ 2 x+y \geqslant-1 \\ x-y \leqslant 0\end{array}\right.$, 则 $z=3 x-2 y$ 的最小值为____.
已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0$ ) 的右顶点为 $A$, 以 $A$ 为 圆心, $b$ 为半径作圆 $A$, 圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M 、 N$ 两点. 若 $\angle$ $M A N=60^{\circ}$, 则 $C$ 的离心率为
16. (5 分) 如图, 圆形纸片的圆心为 O, 半径为 $5 \mathrm{~cm}$, 该纸片上的等边三角形 $A B C$ 的中心为 $O . D 、 E 、 F$ 为圆 $O$ 上的点, $\triangle D B C, \triangle E C A, \triangle F A B$ 分别是以 $B C$ , $C A, A B$ 为底边的等腰三角形. 沿虚线前开后, 分别以 $B C, C A, A B$ 为折痕 折起 $\triangle D B C, \triangle E C A, \triangle F A B$, 使得 $D 、 E 、 F$ 重合, 得到三棱雉. 当 $\triangle A B C$ 的 边长变化时, 所得三棱雉体积 (单位: $\mathrm{cm}^{3}$ ) 的最大值为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\triangle A B C$ 的面积为$
\frac{a^{2}}{3 \sin A}
$
(1) 求 $\sin B \sin C$;
(2) 若 $6 \cos B \cos C=1, a=3$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $A B / / C D$, 且 $\angle B A P=\angle C D P=90^{\circ}$.
(1) 证明: 平面 $P A B \perp$ 平面 $P A D$;
(2) 若 $P A=P D=A B=D C, \angle A P D=90^{\circ}$, 求二面角 $A-P B-C$ 的余弦值.
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生 产线上随机抽取 16 个零件, 并测量其尺寸（单位; $\mathrm{cm}$ ). 根据长期生产经验 , 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right.$ ).
（1）假设生产状态正常, 记 $X$ 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（ $\mu-3 \sigma$ $, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件数, 求 $P(x \geqslant 1)$ 及 $X$ 的数学期望;
(2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件, 就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产 过程进行检查.
( i ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
经计算得 $x=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_{i}=9.97, s=\sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}\left(\sum_{i=1}^{16} x_{i}{ }^{2}-16 \bar{x}^{2}\right)} \approx 0.212$, 其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸, $i=1,2, \ldots, 16$.
用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\mu$, 用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\sigma$, 利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查? 剔除 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之
外的数据, 用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ (精确到 0.01）.
附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-3 \sigma < Z < \mu+3 \sigma)=0.9974$,
$$
0.9974^{16} \approx 0.9592, \sqrt{0.008} \approx 0.09
$$
已知椭圆 $c: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, 四点 $P_{1}(1,1), P_{2}(0,1$ ), $P_{3}\left(-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), P_{4}\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.
(1) 求 C 的方程;
(2) 设直线 $\mid$ 不经过 $P_{2}$ 点且与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 若直线 $P_{2} A$ 与直线 $P_{2} B$ 的斜 率的和为 $-1$, 证明: 1过定点.
已知函数 $f(x)=a e^{2 x}+(a-2) e^{x}-x$.
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;
（2）若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $a$ 的取值范围.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array},(\theta\right.$ 为参 数）, 直线 $\mathrm{I}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{a}+4 \mathrm{t}, \\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\end{array}\right.$ ( $\mathrm{t}$ 为参数）.
(1) 若 $a=-1$, 求 $C$ 与 $I$ 的交点坐标;
(2) 若 C上的点到 I 距离的最大值为 $\sqrt{17}$, 求 $a$.
23. 已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+4, g(x)=|x+1|+|x-1|$.
（1）当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集;
(2) 若不等式 $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集包含 $[-1,1]$, 求 $a$ 的取值范围.