【ID】868 【题型】解答题 【类型】高考真题 【来源】2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生 产线上随机抽取 16 个零件, 并测量其尺寸(单位; $\mathrm{cm}$ ). 根据长期生产经验 , 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right.$ ).
(1)假设生产状态正常, 记 $X$ 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在( $\mu-3 \sigma$ $, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件数, 求 $P(x \geqslant 1)$ 及 $X$ 的数学期望;
(2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件, 就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产 过程进行检查.
( i ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:


经计算得 $x=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_{i}=9.97, s=\sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}\left(\sum_{i=1}^{16} x_{i}{ }^{2}-16 \bar{x}^{2}\right)} \approx 0.212$, 其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸, $i=1,2, \ldots, 16$.
用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\mu$, 用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\sigma$, 利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查? 剔除 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之
外的数据, 用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ (精确到 0.01).
附:若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-3 \sigma < Z < \mu+3 \sigma)=0.9974$,
$$
0.9974^{16} \approx 0.9592, \sqrt{0.008} \approx 0.09
$$
答案:
解: (1) 由题可知尺寸落在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma )$ 之内的概率为 $0.9974$,
则落在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma )$ 之外的概率为 1- $0.9974=0.0026$,
因为 $P(X=0)=C_{16}^{0} \times(1-0.9974)^{0} \times 0.9974^{16} \approx 0.9592$,
所以 $P(X \geqslant 1)=1-P(X=0)=0.0408$,
又因为 $X \sim B(16,0.0026)$,
所以 $E(X)=16 \times 0.0026=0.0416$;
(2)(i ) 如果生产状态正常, 一个零件尺寸在( $\left.\mu^{-3} \sigma, \mu+3 \sigma\right)$ 之外的
概率只有 $0.0026$, 一天内抽取的 16 个零件中, 出现尺寸在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3$
$\mathrm{~}$
况, 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需
对当天的生产过程进行检查, 可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii ) 由 $\bar{x}=9.97, \mathrm{~s} \approx 0.212$, 得 $\mu$ 的估计值为 $\mu=9.97, \sigma$ 的估计值为 $\sigma=0.212$,

由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在 $\left(\mu^{-3} \sigma, \mu^{+3} \sigma\right)$ 之外, 因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 $\left(\mu^{-3} \sigma, \mu+3 \sigma )\right.$ 之外的数据 9.22, 剩下的数据的平均数为 $\frac{1}{15}(16 \times 9.97-9.22)=10.02$,
因此 $\mu$ 的估计值为 $10.02$.
$$
\sum_{i=1}^{16} \mathrm{x}_{i}{ }^{2}=16 \times 0.212^{2}+16 \times 9.97^{2} \approx 1591.134,
$$
剔除 $\left(\mu^{-3} \sigma, \mu+3 \sigma\right)$ 之外的数据 9.22, 剩下的数据的样本方差为 $\frac{1}{15}\left(1591.134-9.22^{2}-15 \times 10.02^{2}\right) \approx 0.008$,
因此 $\sigma$ 的估计值为 $\sqrt{0.008} \approx 0.09$.

解析:

视频讲解

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