题号:867    题型:解答题    来源:2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
类型:高考真题
如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $A B / / C D$, 且 $\angle B A P=\angle C D P=90^{\circ}$.
(1) 证明: 平面 $P A B \perp$ 平面 $P A D$;
(2) 若 $P A=P D=A B=D C, \angle A P D=90^{\circ}$, 求二面角 $A-P B-C$ 的余弦值.
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答案:
(1) 证明: $\because \angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{CDP}=90^{\circ}, \therefore \mathrm{PA} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{PD} \perp \mathrm{CD}$,
$\because A B / / C D, \quad \therefore A B \perp P D$,
又 $\because P A \cap P D=P$, 且 $P A \subset$ 平面 $P A D, P D \subset$ 平面 $P A D$,
$\therefore A B \perp$ 平面 $P A D$, 又 $A B C$ 平面 $P A B$,
$\therefore$ 平面 $\mathrm{PAB} \perp$ 平面 $\mathrm{PAD}$;
(2) 解: $\because A B / / C D, A B=C D, \therefore$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形,
由 (1) 知 $A B \perp$ 平面 $P A D, \therefore A B \perp A D$, 则四边形 $A B C D$ 为矩形,
在 $\triangle A P D$ 中, 由 $P A=P D, \angle A P D=90^{\circ}$, 可得 $\triangle P A D$ 为等腰直角三角形,
设 $P A=A B=2 a$, 则 $A D=2 \sqrt{2} a$.
取 $A D$ 中点 $O, B C$ 中点 $E$, 连接 $P O 、 O E$,
以 $O$ 为坐标原点, 分别以 $O A 、 O E 、 O P$ 所在直线为 $x 、 y 、 z$ 轴建立空间直角坐标 系,
则 $D(-\sqrt{2} a, 0,0), B(\sqrt{2} a, 2 a, 0), P(0,0, \sqrt{2} a), C(-\sqrt{2} a, 2 a, 0)$

$\overrightarrow{P D}=(-\sqrt{2} a, \quad 0,-\sqrt{2} a), \overrightarrow{P B}=(\sqrt{2} a, 2 a,-\sqrt{2} a), \overrightarrow{B C}=(-2 \sqrt{2} a, 0,0) .$
设平面 $\mathrm{PBC}$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$,
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} a x+2 a y-\sqrt{2} a z=0 \\ -2 \sqrt{2} a x=0\end{array}\right.$, 取 $\mathrm{y}=1$, 得 $\vec{n}=(0,1, \sqrt{2})$.
$\because A B \perp$ 平面 $P A D, A D \subset$ 平面 $P A D, \therefore A B \perp P D$,
又 $P D \perp P A, P A \cap A B=A$,
$\therefore P D \perp$ 平面 $P A B$, 则 $\overrightarrow{P D}$ 为平面 $P A B$ 的一个法向量, $\overrightarrow{P D}=(-\sqrt{2} a, 0,-\sqrt{2} a)$.
$$
\therefore \cos < \overrightarrow{\mathrm{PD}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{n}} > =\frac{\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PD}}||\overrightarrow{\mathrm{n}}|}=\frac{-2 \mathrm{a}}{2 \mathrm{a} \times \sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3} .
$$
由图可知, 二面角 $A-P B-C$ 为钝角,
$\therefore$ 二面角 $\mathrm{A}^{-} \mathrm{PB}-\mathrm{C}$ 的余弦值为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

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