【ID】859 【题型】单选题 【类型】高考真题 【来源】2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
已知 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, 过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$, $I_{2}$, 直线 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点, 直线 $I_{2}$ 与 $C$ 交于 $D 、 E$ 两点, 则 $|A B|+|D E|$ 的 最小值为 ( )
$A.$ 16 $B.$ 14 $C.$ 12 $D.$ 10
答案:
A

解析:

解: 如图, $\mathrm{I}_{1} \perp \mathrm{I}_{2}$, 直线 $\mathrm{l}_{1}$ 与 $\mathrm{C}$ 交于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点,
直线 $I_{2}$ 与 $C$ 交于 $D 、 E$ 两点,
要使 $|\mathrm{AB}|+|\mathrm{DE}|$ 最小,
则 $A$ 与 $D, B, E$ 关于 $x$ 轴对称, 即直线 $D E$ 的斜率为 1 ,
又直线 $\mathrm{l}_{2}$ 过点 $(1,0)$,
则直线 $l_{2}$ 的方程为 $y=x-1$,
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 x \\ y=x-1\end{array}\right.$, 则 $y^{2}-4 y-4=0,$,
$$
\therefore y_{1}+y_{2}=4, y_{1} y_{2}=-4 \text {, }
$$
$\therefore|D E|=\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}} \cdot\left|y_{1}-y_{2}\right|=\sqrt{2} \times \sqrt{32}=8$,
$\therefore|\mathrm{AB}|+|\mathrm{DE}|$ 的最小值为 $2|\mathrm{DE}|=16$,

方法二:设直线 $I_{1}$ 的倾斜角为 $\theta$, 则 $\mathrm{I}_{2}$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}+\theta$,
根据焦点弦长公式可得 $|A B|=\frac{2 p}{\sin ^{2} \theta}=\frac{4}{\sin ^{2} \theta}$
$$
\begin{aligned}
&|D E|=\frac{2 p}{\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=\frac{2 p}{\cos ^{2} \theta}=\frac{4}{\cos ^{2} \theta} \\
&\therefore|A B|+|D E|=\frac{4}{\sin ^{2} \theta}+\frac{4}{\cos ^{2} \theta}=\frac{4}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}=\frac{16}{\sin ^{2} 2 \theta}, \\
&\because 0 < \sin ^{2} 2 \theta \leqslant 1, \\
&\therefore \text { 当 } \theta=45^{\circ} \text { 时, }|A B|+|D E| \text { 的最小, 最小为 } 16,
\end{aligned}
$$
故选: A.

视频讲解

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