【ID】866 【题型】解答题 【类型】 【来源】2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\triangle A B C$ 的面积为$
\frac{a^{2}}{3 \sin A}
$
(1) 求 $\sin B \sin C$;
(2) 若 $6 \cos B \cos C=1, a=3$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
答案:
解: (1) 由三角形的面积公式可得 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{acsin} \mathrm{B}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{3 \sin \mathrm{A}}$,
$\therefore 3 \mathrm{csin} \mathrm{B} \sin \mathrm{A}=2 \mathrm{a}$,
由正弦定理可得 $3 \sin C \sin B \sin A=2 \sin A$,
$\because \sin \mathrm{A} \neq 0$,
$\therefore \sin B \sin C=\frac{2}{3}$;
(2) $\because 6 \cos B \cos \mathrm{C}=1$,
$\therefore \cos B \cos C=\frac{1}{6}$,
$\therefore \cos B \cos C-\sin B \sin C=\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}$,
$\therefore \cos (\mathrm{B}+\mathrm{C})=-\frac{1}{2}$,
$\therefore \cos A=\frac{1}{2}$,
$\because 0 < \mathrm{A} < \pi$,
$\therefore A=\frac{\pi}{3}$,
$\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$,

$\therefore \sin B \sin C=\frac{b}{2 R} \cdot \frac{c}{2 R}=\frac{b c}{(2 \sqrt{3})^{2}}=\frac{b c}{12}=\frac{2}{3},$

$\therefore b c=8$,
$\because a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$,
$\therefore b^{2}+c^{2}-b c=9$,
$\therefore(b+c)^{2}=9+3 c b=9+24=33$,
$\therefore \mathrm{b}+\mathrm{c}=\sqrt{33}$
$\therefore$ 周长 $a+b+c=3+\sqrt{33}$.

解析:

视频讲解

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