单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\pi: 4 x-2 y+z-2=0$, 则直线 $L(\quad)$
$\text{A.}$ 平行于 $\pi$.
$\text{B.}$ 在 $\pi$ 上.
$\text{C.}$ 垂直于 $\pi$.
$\text{D.}$ 与 $\pi$ 斜交.
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 或 $f(0)-f(1)$ 的大小顺序是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$.
$\text{C.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$.
设 $f(x)$ 可导, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的
$\text{A.}$ 充分必要条件.
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件.
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件.
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件.
设 $u_{n}=(-1)^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$, 则级数 ( )
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 都收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 都发散.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 发散.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛.
设
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right),
$$
$$
\boldsymbol{P}_{1}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right),
$$
则必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{B}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A P} \boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{B}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$.
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{x^{2}}^{0} x \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=$
设 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=2$, 则 $[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}+(-3)^{n}} x^{2 n-1}$ 的收敛半径 $R=$
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{B}=$
设 $X$ 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 $0.4$ ，则 $X^2$ 数学期望 $E\left(X^2\right)=$
设 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量，且
$$
\begin{aligned}
& P\{X \geq 0, Y \geq 0\}=\frac{3}{7}, \quad P\{X \geq 0\}=P\{Y \geq 0\}=\frac{4}{7}, \\
& \text { 则 } P\{\max (X, Y) \geq 0\}=
\end{aligned}
$$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $u=f(x, y, z), \varphi\left(x^{2}, \mathrm{e}^{y}, z\right)=0, y=\sin x$, 其中 $f, \varphi$ 都具有一阶连续偏导数, 且 $\frac{\partial \varphi}{\partial z} \neq 0$, 求 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 并设 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=A$, 求 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x) f(y) \mathrm{d} y$.
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S$, 其中 $\Sigma$ 为椎面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 内的部分.
将函数 $f(x)=x-1(0 \leqslant x \leqslant 2)$ 展开成周期为 4 的余弦级数.
设曲线 $L$ 位于 $x O y$ 平面的第一象限内, $L$ 上任一点 $M$ 处的切线与 $y$ 轴总相交, 交点记为 $A$. 已知 $|\overline{M A}|=|\overline{O A}|$, 且 $L$ 过点 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$, 求 $L$ 的方程.
设函数 $Q(x, y)$ 在 $x O y$ 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分 $\int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 并且 对任意 $t$ 恒有
$$
\int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y \mathrm{~d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y,
$$
求 $Q(x, y)$.
函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在二阶导数, 并且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$, 试证：
(1) 在开区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$;
(2) 在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$.
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=\lambda_{3}=1$, 对应于 $\lambda_{1}$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $A$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{E}\right.$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵), $|\boldsymbol{A}| < 0$, 求 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$.
计算二重积分 $\iint_D x^2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由双曲线 $x^2-y^2=1$ 及直线 $y=0, y=1$ 所围成的平面区域.
设 $\left\{\begin{array}{l}x_1+3 x_2+2 x_3+x_4=1 \\ x_2+a x_3-a x_4=-1 \\ x_1+2 x_2+3 x_4=3\end{array}\right.$
问 $a$ 为何值时方程组有
解，并在有解时求出方程组的通解.
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0,\end{array}\right.$ 求随机变量 $Y=\mathrm{e}^{X}$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$.
求曲面 $z=\frac{x^2}{2}+y^2$ 平行于平面 $2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程.