【ID】762 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】1995年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x)$ 可导, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的( )
$A.$ 充分必要条件. $B.$ 充分条件但非必要条件. $C.$ 必要条件但非充分条件. $D.$ 既非充分条件又非必要条件.
答案:
A

解析:

由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择, 必须分别验证充分条件和必要 条件.
充分性: 因为 $f(0)=0$, 所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)-F(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)(1+|\sin x|)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f(0),
$$
由此可得 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
必要性: 设 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 则 $f(x) \cdot|\sin x|$ 在 $x=0$ 处可导, 由可导的充要条件知
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x) \cdot|\sin x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) \cdot \sin x \mid}{x}
$$
根据重要极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$, 可得
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|\sin x|}{x}=-\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x}=-1, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|\sin x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x}=1
$$
结合(1), (2), 我们有 $f(0)=-f(0)$, 故 $f(0)=0$. 应选 (A).

视频讲解

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