【ID】772 【题型】填空题 【类型】考研真题 【来源】1995年全国硕士研究生招生考试试题
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=\lambda_{3}=1$, 对应于 $\lambda_{1}$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $A$.
答案:
设对应于 $\lambda_{2}=\lambda_{3}=1$ 的特征向量为 $\xi=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$, 因为 $A$ 为实对称矩阵, 且实对
称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交, 故 $\xi^{T} \xi_{1}=0$, 即 $x_{2}+x_{3}=0$.
解之得 $\quad \xi_{2}=(1,0,0)^{T}, \xi_{3}=(0,1,-1)^{T}$.
于是有 $A\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right)=\left(\lambda_{1} \xi_{1}, \lambda_{2} \xi_{2}, \lambda_{3} \xi_{3}\right)$,
所以
$$
\begin{aligned}
A &=\left(\lambda_{1} \xi_{1}, \lambda_{2} \xi_{2}, \lambda_{3} \xi_{3}\right)\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right)^{-1} \\
&=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

解析:

视频讲解

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