题号:755    题型:填空题    来源:1995年全国硕士研究生招生考试试题
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
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答案:
$e^{6}$

解析:

这是 $1^{\infty}$ 型末定式求极限,
$$
\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{1}{3 x} \cdot 3 x \cdot \frac{2}{\sin x}},
$$
令 $3 x=t$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $t \rightarrow 0$, 所以

$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{1}{3 x}}=\lim _{t \rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$,
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{6 x}{\sin x}}=e^{\lim _{x \rightarrow \sin x}^{6 x}}=e^{6 \lim _{x \rightarrow 0 \sin x} \frac{x}{3}}=e^{6} .$
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