题号:771    题型:填空题    来源:1995年全国硕士研究生招生考试试题
函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在二阶导数, 并且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$, 试证:
(1) 在开区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$;
(2) 在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$.
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答案:
(1) 反证法. 假设 $\exists c \in(a, b)$, 使 $g(c)=0$. 则由罗尔定理, $\exists \xi_{1} \in(a, c)$ 与 $\xi_{2} \in(c, b)$,
使 $g^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=g^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$; 从而由罗尔定理, $\exists \xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \subset(a, b), g^{\prime \prime}(\xi)=0$. 这与 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0$ 矛盾.
(2) 证明本题的关键问题是:“对谁使用罗尔定理? ” 换言之, “谁的导数等于零? ”
这应该从所要证明的结果来考察. 由证明的结果可以看出本题即证 $f(x) g^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime}(x) g(x)$ 在 $(a, b)$ 存在零点.

方法一:注意到 $\quad f(x) g^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime}(x) g(x)=\left(f(x) g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) g(x)\right)^{\prime}$,
考察 $f(x) g^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime}(x) g(x)$ 的原函数, 令
$$
\varphi(x)=f(x) g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) g(x)
$$
$\Rightarrow \varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, $\varphi(a)=\varphi(b)=0$. 由罗尔定理, $\exists \xi \in(a, b)$, 使 $\varphi^{\prime}(\xi)=0$. 即有
$$
f(\xi) g^{\prime \prime}(\xi)-f^{\prime \prime}(\xi) g(\xi)=0 \text {, 亦即 } \quad \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)} \text {. }
$$

方法二: 若不能像前面那样观察到 $f(x) g^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime}(x) g(x)$ 的原函数, 我们也可以用积分来 讨论这个问题:
$$
\begin{aligned}
& f(x) g^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime}(x) g(x)=(?)^{\prime} \Leftrightarrow \int\left[f(x) g^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime}(x) g(x)\right] d x=? . \\
& \int\left[f(x) g^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime}(x) g(x)\right] d x=\int f(x) d g^{\prime}(x)-\int g(x) d f^{\prime}(x) \\
=& {\left[f(x) g^{\prime}(x)-\int g^{\prime}(x) f^{\prime}(x) d x\right]-\left[f^{\prime}(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) d x\right] } \\
=&\left.f(x) g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) g(x) \text { (取 } C=0\right) .
\end{aligned}
$$
令 $\varphi(x)=f(x) g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) g(x)$, 其余与方法一相同.
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