题号:757    题型:填空题    来源:1995年全国硕士研究生招生考试试题
设 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=2$, 则 $[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})=$
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答案:
4

解析:

利用向量运算律有
$$
\begin{aligned}
& {[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{c}+\vec{a}) } \\
=& {[(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{b}] \cdot(\vec{c}+\vec{a})+[(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}] \cdot(\vec{c}+\vec{a}) } \\
=&(\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c}+\vec{a})+(\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}) \cdot(\vec{c}+\vec{a}) \quad(\text { 其中 } \vec{b} \times \vec{b}=0) \\
=&(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}+(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}+(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{c}+(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} \\
=&(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}+(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} \\
=&(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}+(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=4 .
\end{aligned}
$$
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