单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上非负，在 $(a, b)$ 内
$$
\begin{gathered}
f^{\prime \prime}(x)>0, f^{\prime}(x) < 0 . \quad I_1=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)], \\
I_2=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, I_3=(b-a) f(b)
\end{gathered}
$$
则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为 ( ).
$\text{A.}$ $I_1 \leq I_2 \leq I_3$
$\text{B.}$ $I_1 \leq I_3 \leq I_2$
$\text{C.}$ $I_2 \leq I_3 \leq I_1$
$\text{D.}$ $I_3 \leq I_2 \leq I_1$
以下说法正确的是( ).
$\text{A.}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积
$\text{B.}$ 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$, $x \in[a, b]$ 可导
$\text{C.}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， $c \in(a, b)$ ，则 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_c^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) $
$\text{D.}$ 如果 $f(x)$ 是定义在区间 $[-a, a](a>0)$ 上的奇函数，则 $ \int_{-a}^a f(t) \mathrm{d} t=0$
设 $f(x)=\int_0^{\sqrt{1+x}-1} \ln (1+t) \mathrm{d} t, g(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \arcsin t \mathrm{~d} t$ ， 则当 $x \rightarrow 0$ 时，下列结论正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷小
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶的无穷小，但不等价
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小
设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，则 $\int_{a+k T}^{a+(k+1) T} f(x) \mathrm{d} x$ 的积分值( )
$\text{A.}$ 仅与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 仅与 $a$ 无关
$\text{C.}$ 与 $a$ 和 $k$ 都无关
$\text{D.}$ 与 $a$ 和 $k$ 都有关
下列积分收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\int_1^2 \frac{\mathrm{d} x}{(\ln x)^3}$
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+x^2+\frac{1}{5} x} \mathrm{~d} x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right)=$
若 $f(x)$ 连续，且 $f(0)=2$ ，又函数
$$
F(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^2} \int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{cases}
$$
连续，则 $a=$
若 $f(x)$ 有连续导数，且
$$
\int_0^\pi f(x) \sin x \mathrm{~d} x=k, f(\pi)=-2, f(0)=5,
$$
则 $\int_0^\pi f^{\prime}(x) \cos x \mathrm{~d} x=$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{rr}e^x, & x \geq 0, \\ 1+x^2, & x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=$
$\int_9^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+e^{-x}} \mathrm{~d} x$.
计算定积分 $\int_0^a \frac{\mathrm{d} x}{x+\sqrt{a^2-x^2}}$.
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x=\int_{-\infty}^c t e^{2 t} \mathrm{~d} t$, 求 $c$.
计算定积分 $\int_{-1}^1 \frac{2 x^2+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
设 $F(x)=\int_0^{x^2} e^{-t^2} \mathrm{~d} t$, 试求:
(1) $F(x)$ 的极值；
(2)曲线 $y=F(x)$ 的拐点的横坐标;
(3) $\int_{-2}^3 x^2 F^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
设函数 $\varphi(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，且
$$
\varphi(x)>0, f(x)=\int_{-a}^a|x-t| \varphi(t) \mathbf{d} t,
$$
证明 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上描述的曲线为凹曲线.
设函数 $f(x)$ 连续，且
$\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan \left(x^2\right)$. 已知 $f(1)=1$ ，
求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
设 $a$ 为大于 1 的常数， $f(x)$ 是连续函数，证明
$$
\int_1^a f\left(x^2+\frac{a^2}{x^2}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_1^a f\left(x+\frac{a^2}{x}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x .
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导数，且 $f(0)=0$ ， 证明 $\left|\int_0^a f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M a^2}{2}$ ，其中 $M=\max _{0 \leq x \leq a}\left|f^{\prime}(x)\right|$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(x) \geq 0, g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明: 对于任意 $a \in[0,1]$ ， 有 $\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1)$.