单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设集合 $A=\left\{x \mid x^2-4 x+3 < 0\right\}, B=\{x \mid 2 x-4>0\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $(2,3)$
$\text{B.}$ $\left(-3, \frac{3}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(1, \frac{3}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(-3,-\frac{3}{2}\right)$
" $x=1$ " 是 “ $x^2+2 x-3=0$ "的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
函数 $f(x)=\frac{\lg (x+1)}{x-2}$ 的定义域是
$\text{A.}$ $(-1,+\infty)$
$\text{B.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-1,2) \cup(2,+\infty)$
$\text{D.}$ $[-1,2) \cup(2,+\infty)$
设 $a=\log _6 5, b=\left(\log _6 4\right)^2, c=\log _5 6$, 则
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $a < b < c$
$\text{D.}$ $b < a < c$
设 $2^a=5^b=m$, 且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$, 则 $m=$
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 100
双碳, 即碳达峰与碳中和的简称, 2020 年 9 月中国明确提出 2030 年实现“碳达峰”, 2060 年实 现 “碳中和”. 为了实现这一目标, 中国加大了电动汽车的研究与推广, 到 2060 年, 纯电动汽车 在整体汽车中的渗透率有望超过 $70 \%$, 新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇. Peukert 于 1898 年提出湢电池的容量 $C$ (单位: $\mathrm{A} \cdot \mathrm{h}$ ), 放电时间 $t$ (单位: $\mathrm{h}$ ) 与放电电流 $I$ (单位: $\mathrm{A}$ )之 间关系的经验公式 $C=I^n \cdot t$, 其中 $n=\log _{\frac{1}{2}} 2$ 为 Peukert 常数. 在电池容量不变的条件下, 当 放电电流 $I=10 \mathrm{~A}$ 时, 放电时间 $t=56 \mathrm{~h}$, 则当放电电流 $I=15 \mathrm{~A}$ 时, 放电时间为
$\text{A.}$ $28 \mathrm{~h}$
$\text{B.}$ $28.5 \mathrm{~h}$
$\text{C.}$ $29 \mathrm{~h}$
$\text{D.}$ $29.5 \mathrm{~h}$
下列说法正确的有
$\text{A.}$ 若向量 $a / / b, b / / c$, 则 $a / / c$
$\text{B.}$ 若向量 $a \cdot b>0$, 则向量 $a, b$ 的夹角为锐角
$\text{C.}$ 向量 $a, b, c$ 是三个非零向量, 若 $a \cdot c=b \cdot c$, 则 $a=b$
$\text{D.}$ 向量 $a, b$ 是两个非零向量, 若 $|a+b|=|a-b|$, 则 $a \perp b$
若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P\left(\sin 830^{\circ}, \cos 430^{\circ}\right)$, 且 $\tan \alpha+\tan 2 \alpha+m \tan \alpha \cdot \tan 2 \alpha=\sqrt{3}$, 则实数 $m$ 的值为
$\text{A.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知 $4 x^2 y^2+y^4=1(x, y \in \mathbf{R})$, 则 $x^2+y^2$ 的最小值是
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$, 若关于 $x$ 的不等式 $f(x)>a \ln (a x-2 a)-2 a(a>0)$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(0, \mathrm{e}^2\right)$
$\text{B.}$ $\left(\mathrm{e}^2,+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, e^3\right)$
$\text{D.}$ $\left(e^3,+\infty\right)$
已知 $x_1, x_2, x_3$ 是函数 $f(x)=x^3+a x^2+b(a, b \in \mathbf{R})$ 的零点, 且 $x_1 < 0 < x_2 < x_3$, 若 $\left|x_1\right|+$ $x_2=x_3$, 则当 $a, b$ 变化时, $3 a+b$ 的最小值是
$\text{A.}$ $-4 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $-2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
若 $f(x)=|\sin x+\sqrt{3} \cos x|+|\sqrt{3} \sin x-\cos x|$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 的最小正周期是 $\pi$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的对称轴方程为 $x=\frac{k \pi}{4}-\frac{\pi}{12}(k \in \mathbf{Z})$
$\text{C.}$ 存在实数 $a$, 使得对任意的 $x \in \mathbf{R}$, 都存在 $x_1 、 x_2 \in\left[-\frac{5 \pi}{12}, 0\right]$ 且 $x_1 \neq x_2$, 满足 $[f(x)]^2-$ $a f(x) f\left(x_k\right)+1=0(k=1,2)$
$\text{D.}$ 若函数 $g(x)=2 f(x)+b, x \in\left[0, \frac{25 \pi}{12}\right]$ ( $b$ 是实常数), 有奇数个零点 $x_1, x_2, \cdots, x_{2 n}$, $x_{2 n+1}(n \in \mathrm{N})$, 则 $x_1+2\left(x_2+x_3+\cdots+x_{2 n}\right)+x_{2 n+1}=\frac{25 \pi}{3}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $a, b$ 满足 $|a|=|b|=1, a \cdot(b-a)=-1$, 则 $|2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=$
写出一个最小正周期为 3 的奇函数 $f(x)=$
函数 $f(x)=\cos 2 x \sin x$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的最大值为
设 $x, y$ 是正实数, 记 $S$ 为 $x, y+\frac{2}{x}, \frac{2}{y}$ 中的最小值, 则 $S$ 的最大值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若正数 $a, b$, 且 $a+2 b=1$.
(1)求 $a b$ 的最大值，
(2) 求 $\frac{5}{a+1}+\frac{1}{b}$ 的最小值.
已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.
(1) 求 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$ 的值;
(2)求 $\cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right)$ 的值.
已知函数 $f(x)=-\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+6 \sin x \cos x-2 \cos ^2 x+1, x \in \mathbf{R}$.
(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期;
(2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.
某群体的人均通勤时间，是指但日内该群体中成员从居住地到工作地的评价用时，某地上班族 $S$ 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示: 当 $S$ 中 $x \%(0 < x < 100)$ 的成员自驾时,
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{c}
30, \quad 0 < x \leqslant 30 \\
2 x+\frac{1800}{x}-80,30 < x < 100
\end{array}\right. \text { (单位: 分钟), }
$$
（1）当 $x$ 在什么范围内时,公交样体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2) 求该地上班族 $S$ 的人均通勒时间 $g(x)$ 的表达式;并求出 $g(x)$ 的最小值.
对于函数 $f(x)$, 若其定义域内存在实数 $x$ 满足 $f(-x)=-f(x)$, 则称 $f(x)$ 为 “准奇函数”.
（1）已知函数 $f(x)=\frac{x-3}{x+1}$, 试问 $f(x)$ 是否为 “准奇函数”? 说明理由；
（2）若 $g(x)=3^x+m$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的 “准奇函数”, 试求实数 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=a \ln x+2 \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e} x+\frac{1}{2} a \mathrm{e}$.
(1) 当 $a=0$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 若 $a$ 为整数, 当 $x \geqslant \frac{1}{2}$ 时, $f(x) \geqslant 0$ 恒成立, 求 $a$ 的最小值.
(参考数据: $\ln 2 \approx 0.6931, \ln 3 \approx 1.0998, \mathrm{e}=2.7182 \ldots$ )