2023届皖南八校第一次大联考数学试题

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2023届皖南八校第一次大联考数学试题

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设集合

A = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 < 0}, B = {x ∣ 2 x - 4 > 0}

, 则

A \cap B =

A.

(2, 3)

B.

(- 3, \frac{3}{2})

C.

(1, \frac{3}{2})

D.

(- 3, - \frac{3}{2})

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2. "

x = 1

" 是 “

x^{2} + 2 x - 3 = 0

"的

A.

充要条件

B.

充分不必要条件

C.

必要不充分条件

D.

既不充分也不必要条件

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3. 函数

f (x) = \frac{\lg (x + 1)}{x - 2}

的定义域是

A.

(- 1, + \infty)

B.

[- 1, + \infty)

C.

(- 1, 2) \cup (2, + \infty)

D.

[- 1, 2) \cup (2, + \infty)

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4. 设

a = \log_{6} 5, b = {(\log_{6} 4)}^{2}, c = \log_{5} 6

, 则

A.

a < c < b

B.

b < c < a

C.

a < b < c

D.

b < a < c

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5. 设

2^{a} = 5^{b} = m

, 且

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}

, 则

m =

A.

\sqrt{10}

B.

C.

D.

100

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6. 双碳, 即碳达峰与碳中和的简称, 2020 年 9 月中国明确提出 2030 年实现“碳达峰”, 2060 年实现 “碳中和”. 为了实现这一目标, 中国加大了电动汽车的研究与推广, 到 2060 年, 纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过

70 %

, 新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇. Peukert 于 1898 年提出湢电池的容量

C

(单位:

A \cdot h

), 放电时间

t

(单位:

h

) 与放电电流

I

(单位:

A

)之间关系的经验公式

C = I^{n} \cdot t

, 其中

n = \log_{\frac{1}{2}} 2

为 Peukert 常数. 在电池容量不变的条件下, 当放电电流

I = 10 A

时, 放电时间

t = 56 h

, 则当放电电流

I = 15 A

时, 放电时间为

A.

28 h

B.

28.5 h

C.

29 h

D.

29.5 h

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7. 下列说法正确的有

A.

若向量

a / / b, b / / c

, 则

a / / c

B.

若向量

a \cdot b > 0

, 则向量

a, b

的夹角为锐角

C.

向量

a, b, c

是三个非零向量, 若

a \cdot c = b \cdot c

, 则

a = b

D.

向量

a, b

是两个非零向量, 若

| a + b | = | a - b |

, 则

a ⊥ b

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8. 若角

α

的终边经过点

P (\sin 830^{\circ}, \cos 430^{\circ})

, 且

\tan α + \tan 2 α + m \tan α \cdot \tan 2 α = \sqrt{3}

, 则实数

m

的值为

A.

- \sqrt{3}

B.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

\sqrt{3}

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9. 已知

4 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)

, 则

x^{2} + y^{2}

的最小值是

A.

2 \sqrt{3}

B.

\frac{5}{4}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

\frac{4}{5}

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10. 已知函数

f (x) = e^{x}

, 若关于

x

的不等式

f (x) > a \ln (a x - 2 a) - 2 a (a > 0)

恒成立, 则实数

a

的取值范围为

A.

(0, e^{2})

B.

(e^{2}, + \infty)

C.

(0, e^{3})

D.

(e^{3}, + \infty)

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11. 已知

x_{1}, x_{2}, x_{3}

是函数

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b (a, b \in R)

的零点, 且

x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}

, 若

| x_{1} | +

x_{2} = x_{3}

, 则当

a, b

变化时,

3 a + b

的最小值是

A.

- 4 \sqrt{2}

B.

- 2 \sqrt{2}

C.

4 \sqrt{2}

D.

2 \sqrt{2}

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12. 若

f (x) = | \sin x + \sqrt{3} \cos x | + | \sqrt{3} \sin x - \cos x |

, 则下列说法正确的是

A.

f (x)

的最小正周期是

π

B.

f (x)

的对称轴方程为

x = \frac{k π}{4} - \frac{π}{12} (k \in Z)

C.

存在实数

a

, 使得对任意的

x \in R

, 都存在

x_{1} 、 x_{2} \in [- \frac{5 π}{12}, 0]

且

x_{1} \neq x_{2}

, 满足

[f (x)]^{2} -

a f (x) f (x_{k}) + 1 = 0 (k = 1, 2)

D.

若函数

g (x) = 2 f (x) + b, x \in [0, \frac{25 π}{12}]

(

b

是实常数), 有奇数个零点

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n}

x_{2 n + 1} (n \in N)

, 则

x_{1} + 2 (x_{2} + x_{3} + \dots + x_{2 n}) + x_{2 n + 1} = \frac{25 π}{3}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知向量

a, b

满足

| a | = | b | = 1, a \cdot (b - a) = - 1

, 则

| 2 a + b | =

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14. 写出一个最小正周期为 3 的奇函数

f (x) =

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15. 函数

f (x) = \cos 2 x \sin x

在

(0, \frac{π}{2})

上的最大值为

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16. 设

x, y

是正实数, 记

S

为

x, y + \frac{2}{x}, \frac{2}{y}

中的最小值, 则

S

的最大值为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 若正数

a, b

, 且

a + 2 b = 1

.
(1)求

a b

的最大值，
(2) 求

\frac{5}{a + 1} + \frac{1}{b}

的最小值.

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18. 已知

α \in (\frac{π}{2}, π), \sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

.
(1) 求

\sin (\frac{π}{4} + α)

的值;
(2)求

\cos (\frac{5 π}{6} - 2 α)

的值.

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19. 已知函数

f (x) = - \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 6 \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1, x \in R

.
(1) 求

f (x)

的最小正周期;
(2) 求

f (x)

在区间

[0, \frac{3 π}{4}]

上的最大值和最小值.

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20. 某群体的人均通勤时间，是指但日内该群体中成员从居住地到工作地的评价用时，某地上班族

S

中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示: 当

S

中

x % (0 < x < 100)

的成员自驾时,

f (x) = {\begin{matrix} 30, 0 < x ⩽ 30 \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 80, 30 < x < 100 \end{matrix} (单位: 分钟),

（1）当

x

在什么范围内时,公交样体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2) 求该地上班族

S

的人均通勒时间

g (x)

的表达式;并求出

g (x)

的最小值.

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21. 对于函数

f (x)

, 若其定义域内存在实数

x

满足

f (- x) = - f (x)

, 则称

f (x)

为 “准奇函数”.
（1）已知函数

f (x) = \frac{x - 3}{x + 1}

, 试问

f (x)

是否为 “准奇函数”? 说明理由；
（2）若

g (x) = 3^{x} + m

为定义在

[- 1, 1]

上的 “准奇函数”, 试求实数

m

的取值范围.

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22. 已知函数

f (x) = a \ln x + 2 e^{x} - 4 e x + \frac{1}{2} a e

.
(1) 当

a = 0

时, 求曲线

y = f (x)

在

(1, f (1))

处的切线方程;
(2) 若

a

为整数, 当

x ⩾ \frac{1}{2}

时,

f (x) ⩾ 0

恒成立, 求

a

的最小值.
(参考数据:

\ln 2 \approx 0.6931, \ln 3 \approx 1.0998, e = 2.7182 \dots

)

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