题号:2884    题型:解答题    来源:2023届皖南八校第一次大联考数学试题
若正数 $a, b$, 且 $a+2 b=1$.
(1)求 $a b$ 的最大值,
(2) 求 $\frac{5}{a+1}+\frac{1}{b}$ 的最小值.
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答案:
解: (1)因为 $a+2 b \geqslant 2 \sqrt{2 a b}$, 所以 $1 \geqslant 2 \sqrt{2 a b}$, 当且仅当 $a=2 b$ 时等号成立,
所以当 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{4}$ 时, $(a b)_{\max }=\frac{1}{8}$.
(2) $\frac{5}{a+1}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{a+1}+\frac{2}{2 b}\right)(a+1+2 b)=\frac{1}{2}\left(7+\frac{10 b}{a+1}+\frac{a+1}{b}\right) \geqslant \frac{7}{2}+\sqrt{10}$.
当且仅当 $\frac{10 b}{a+1}=\frac{a+1}{b}$ 时等号成立,
所以当 $a=\frac{7-2 \sqrt{10}}{3}, b=\frac{\sqrt{10}-2}{3}$ 时取最小值 $\frac{7}{2}+\sqrt{10}$.
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