【ID】2887 【题型】解答题 【类型】模拟考试 【来源】2023届皖南八校第一次大联考数学试题
某群体的人均通勤时间,是指但日内该群体中成员从居住地到工作地的评价用时,某地上班族 $S$ 中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示: 当 $S$ 中 $x \%(0 < x < 100)$ 的成员自驾时,
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{c}
30, \quad 0 < x \leqslant 30 \\
2 x+\frac{1800}{x}-80,30 < x < 100
\end{array}\right. \text { (单位: 分钟), }
$$
(1)当 $x$ 在什么范围内时,公交样体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2) 求该地上班族 $S$ 的人均通勒时间 $g(x)$ 的表达式;并求出 $g(x)$ 的最小值.
答案:
解: (1) 当 $0 < x \leqslant 30$ 时, $f(x)=30 < 50$ 恒成立, 公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤 时间;
当 $30 < x < 100$ 时, 若 $50 < f(x)$, 即 $2 x+\frac{1800}{x}-80 > 50$, 解得 $x < 20$ (舍) 或 $x > 45$;
所以当 $45 < x < 100$ 时, 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;

(2) 设该地上班族总人数为 $n$, 则自驾人数为 $n \cdot x \%$, 乘公交人数为 $n \cdot(1-x \%)$.
因此人均通勤时间
因为 $g(x)$ 在 $(0,30]$ 和 $(30,32.5]$ 为减函数;
$g(x)$ 在 $(32.5,100]$ 为增函数, $g(30)=44, g(32.5)=46.875$,
所以 $g(x)$ 的最小值为 44 .

解析:

视频讲解

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