题号:2889    题型:解答题    来源:2023届皖南八校第一次大联考数学试题
已知函数 $f(x)=a \ln x+2 \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e} x+\frac{1}{2} a \mathrm{e}$.
(1) 当 $a=0$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 若 $a$ 为整数, 当 $x \geqslant \frac{1}{2}$ 时, $f(x) \geqslant 0$ 恒成立, 求 $a$ 的最小值.
(参考数据: $\ln 2 \approx 0.6931, \ln 3 \approx 1.0998, \mathrm{e}=2.7182 \ldots$ )
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答案:
解: (1) 当 $a=0, f(x)=2 \mathrm{e}^x-4 \mathrm{ex}$
$f^{\prime}(x)=2 \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e}$
$f^{\prime}(1)=-2 \mathrm{e}$
$f(1)=-2 \mathrm{e}$
$\therefore$ 曲线 $y=f(x)$ 过点 $(1,-2 \mathrm{e})$, 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y+2 \mathrm{e}=-2 \mathrm{e}(x-1)$, 即 $2 \mathrm{e} x+y=0$
(2) $f(1)=2 \mathrm{e}-4 \mathrm{e}+\frac{1}{2} a \mathrm{e}=\frac{1}{2} a \mathrm{e}-2 \mathrm{e} \geqslant 0 \Rightarrow a \geqslant 4$.


$$
f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}+2 \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e}=\frac{2 x \mathrm{e}^x-4 \mathrm{ex}+a}{x},
$$
$$
\begin{aligned}
&\text { 令 } \varphi(x)=2 x \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e} x+a, \\
&\varphi(1)=a-2 \mathrm{e}, \varphi^{\prime}(x)=(2 x+2) \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e}, \varphi^{\prime}(1)=0,
\end{aligned}
$$
易知 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 掸调递垷, $\therefore$ 当 $x \in\left[\frac{1}{2}, 1\right), \varphi^{\prime}(x) < 0, \varphi(x)$ 单调递减, $x \in(1,+\infty), \varphi^{\prime}(x) > 0$, $\varphi(x)$ 单调递增.
$1^0$ 当 $a \geqslant 2 \mathrm{e}$ 时, $\varphi(x) \geqslant \varphi(1) \geqslant 0, \therefore f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 在 $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上恒成立, $\therefore f(x)$ 单调递增,
$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} a \mathrm{e}-a \ln 2+2 \sqrt{\mathrm{e}}-2 \mathrm{e}$,
记 $M(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e} x-x \ln 2+2 \sqrt{\mathrm{e}}-2 \mathrm{e}(x \geqslant 2 \mathrm{e})$,
$M^{\prime}(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}-\ln 2 > 0$,
$\therefore M(x)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上单调增递,
$\therefore M(x) \geqslant M(2 \mathrm{e})=\mathrm{e}^2+2 \sqrt{\mathrm{e}}-(2 \ln 2+2) \mathrm{e} > 0$
$\therefore f\left(\frac{1}{2}\right) > 0, \therefore x \in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 时, $f(x) > 0$ 怛成立.
$2^0$ 当 $4 < a < 2 \mathrm{e}$ 时, 又 $a \in \mathbf{Z}$, 即 $a=5$ 时, $f(x)=5 \ln x+2 \mathrm{e}^x-4 \mathrm{ex}+\frac{5}{2} \mathrm{e}$,
$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{e}+2 \sqrt{\mathrm{e}}-5 \ln 2 > 0, f^{\prime}(x)=\frac{2 x \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e} x+5}{x}$,
记 $h(x)=2 x \mathrm{e}^x-4 \mathrm{ex}+5$,
$h^{\prime}(x)=(2 x+2) \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e}, h^{\prime}(1)=0, h^{\prime}(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上单调递增, $h(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$ 单调递减, $(1,+\infty)$ 单调 递增, $h\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}-2 \mathrm{e}+5 > 0, h(1)=5-2 \mathrm{e} < 0, h\left(\frac{3}{2}\right)=3 \mathrm{e} \frac{3}{2}-6 \mathrm{e}+5 > 0$,
$\exists x_1 \in\left(\frac{1}{2}, 1\right), x_2 \in\left(1, \frac{3}{2}\right), h\left(x_1\right)=h\left(x_2\right)=0$,
$f(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, x_1\right)$ 单调递增,在 $\left(x_1, x_2\right)$ 单调递㑘, $\left(x_2,+\infty\right)$ 单调递垻, $2 x_2 \mathrm{e}^{x_2}-4 \mathrm{e} x_2+5=0 \Rightarrow \mathrm{e}^{x_2}=2 \mathrm{e}-\frac{5}{2 x_2}$,

$$
\begin{aligned}
&f\left(x_2\right)=5 \ln x_2+2 \mathrm{e}_2-4 \mathrm{e} x_2+\frac{5}{2} \mathrm{e}=5 \ln x_2-\frac{5}{x_2}-4 \mathrm{e}_2+\frac{13}{2} \mathrm{e}\\
&\text { 令 } N(x)=5 \ln x-\frac{5}{x}-4 \mathrm{e} x+\frac{13}{2} \mathrm{e}, x \in\left(1, \frac{3}{2}\right)\\
&N^{\prime}(x)=\frac{5 x+5-4 \mathrm{e} x^2}{x^2}\\
&x \in\left(1, \frac{3}{2}\right) \text { 时, } 5 x+5-4 x^2 < 5+5-4 \mathrm{e} < 0, \therefore N^{\prime}(x) < 0, N(x) \text { 单调递减, }\\
&\therefore N(x) > N\left(\frac{3}{2}\right)=5(\ln 3-\ln 2)-\frac{10}{3}+\frac{1}{2} \mathrm{e} > 0\\
&\therefore x \in\left(\frac{1}{2},+\infty\right) \text { 时, } f(x) > 0 \text {, }\\
&3^0 \text { 当 } a=4 \text { 时, } f(x)=4 \ln x+2 \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e} x+2 \mathrm{e}, f^{\prime}(x)=\frac{2 x \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e} x+4}{x} \text {, }\\
&\text { 记 } k(x)=2 x \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e} x+4, k^{\prime}(x)=(2 x+2) \mathrm{e}^x-4 \mathrm{e}, k^{\prime}(1)=0 \text {, }\\
&\text { 易知 } k^{\prime}(x) \text { 单调递增, } \therefore k(x) \text { 在 }\left[\frac{1}{2}, 1\right) \text { 单调递诚, }(1,+\infty) \text { 单调递增, } k\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}-2 \mathrm{e}+4 > 0, k(1)=\\
&4-2 \mathrm{e} < 0, k(3)=6 \mathrm{e}^3-12 \mathrm{e}+4 > 0 \text {, }\\
&\exists x_3 \in\left(\frac{1}{2}, 1\right), x_4 \in(1,3)\\
&f(x) \text { 在 }\left(\frac{1}{2}, x_3\right) \text { 上单调递增, }\left(x_3, x_4\right) \text { 上单调递掝, }\left(x_4,+\infty\right) \text { 上单调递增. }\\
&f(1)=0, \therefore \text { 当 } x \in\left(1, x_1\right) \text { 时, } f(x) < f(1)=0 \text { 不符合题意, }
\end{aligned} $$
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