【ID】2886 【题型】解答题 【类型】模拟考试 【来源】2023届皖南八校第一次大联考数学试题
已知函数 $f(x)=-\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+6 \sin x \cos x-2 \cos ^2 x+1, x \in \mathbf{R}$.
(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期;
(2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.
答案:
解: (1) $f(x)=-\sqrt{2} \sin 2 x \cdot \cos \frac{\pi}{4}-\sqrt{2} \cos 2 x \cdot \sin \frac{\pi}{4}+3 \sin 2 x-\cos 2 x$
$$
=2 \sin 2 x-2 \cos 2 x=2 \sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right) \text {. }
$$
所以 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$.
(2) 由 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leqslant 2 x-\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 得 $-\frac{\pi}{8}+k \pi \leqslant x \leqslant \frac{3}{8} \pi+k \pi, k \in \mathbf{Z}$,
所以 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{3 \pi}{8}\right]$ 上是增函数, 在区间 $\left[\frac{3 \pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上是减函数.
又 $f(0)=-2, f\left(\frac{3 \pi}{8}\right)=2 \sqrt{2}$,
$f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=-2$, 故函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上的最大值为 $2 \sqrt{2}$, 最小值为 $-2$.

解析:

视频讲解

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