题号:2888    题型:解答题    来源:2023届皖南八校第一次大联考数学试题
对于函数 $f(x)$, 若其定义域内存在㫧数 $x$ 满足 $f(-x)=-f(x)$, 则称 $f(x)$ 为 “准奇函数”.
(1)已知函数 $f(x)=\frac{x-3}{x+1}$, 试问 $f(x)$ 是否为 “准奇函数”? 说明理由;
(2)若 $g(x)=3^x+m$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的 “准奇函数”, 试求实数 $m$ 的取值范围.
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答案:
解: (1) 假设 $f(x)$ 为 “准奇函数”, $\therefore$ 存在 $x$ 满足 $f(-x)=-f(x)$,
$\frac{-x-3}{-x+1}=-\frac{x-3}{x+1}$ 有解,化为 $x^2+3=0$, 无解, $\therefore f(x)$ 不是“准奇函数”;
(2) $g(x)=3^x+m$ 为定义在 $[-1,1]$ 的“准奇函数”,
$3^{-x}+m=-3^x-m$ 在 $[-1,1]$ 上有解, $2 m=-\left(3^x+3^{-x}\right)$ 在 $[-1,1]$ 上有解,
令 $t=3^x \in\left[\frac{1}{3}, 3\right], \therefore 2 m=-\left(t+\frac{1}{t}\right)$ 在 $t \in\left[\frac{1}{3}, 3\right]$ 上有解,
又对勾函数 $y=t+\frac{1}{t}$ 在 $\left[\frac{1}{3}, 1\right)$ 上单调递䧕, 在 $(1,3]$ 上姝调递增, 且 $t=\frac{1}{3}$ 时, $y=\frac{10}{3}$;
$t=3$ 时,$y=\frac{10}{3}$,
$\therefore y_{\min }=1+1=2, y=t+\frac{1}{t}$ 的值域为 $\left[2, \frac{10}{3}\right]$,
$\therefore 2 m \in\left[-\frac{10}{3},-2\right], m \in\left[-\frac{5}{3},-1\right]$.
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