单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $U=\mathbf{R}, A=\{x \mid \ln (2 x-1) \leqslant 0\}, B=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{x}>1\right.\right\}$ ，则 $\complement_U(A \cap B)=$
$\text{A.}$ $\{1\}$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup[1,+\infty)$
若 $\bar{z}(z-\mathrm{i})=\frac{1}{2} \mathrm{i}$ ，则 $z=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}$
在正方形 $A B C D$ 中，$P, Q$ 分别为 $B C, C D$ 的中点，若 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A P}=\frac{3}{2}$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B Q}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+3)=-f(x-1)$ ，且 $f(x-1)$ 是奇函数，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $f(-1)=0$
$\text{B.}$ $f(0)=f(2)$
$\text{C.}$ $f(-4)=f(4)$
$\text{D.}$ $f(11)=-1$
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 满足：当 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=1$ 时，$\left|x_1-x_2\right|$ 的最小值为 $\frac{\pi}{4}$ ，且 $f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{\pi}{6}-x\right)$ ，则函数 $f(x)$ 在区间 $[-\pi, 2 \pi]$ 内的零点个数为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
某省高速公路实行智能化管理，其主线收费站的车流量由智能控制系统操控．经统计分析知，某收费站一天中通过的车辆数 $\rho$ 与时间 $t$ 拟合的函数关系为 $\rho=\left\{\begin{array}{l}-27 t+35,0 \leqslant t < 1, \\ -\frac{1}{2} t^3+\frac{15}{2} t^2-24 t+25,1 \leqslant t < 10, \text { 若 } \\ -t^2+34 t-205,10 \leqslant t < 24 .\end{array}\right.$不计其他因素，车流速度 $v$ 与 $\rho$ 的自动控制系统方程为 $v=\left\{\begin{array}{l}v_0 \ln \rho \text { ，当 } \rho \text { 逐渐增大，} \\ v_0 \mathrm{e}^{-\rho} \text { ，当 } \rho \text { 逐渐减小 }\end{array}\right.$（ $v_0$ 为常速），则下列说法错误的是
$\text{A.}$ 当 $t=2$ 时，该时刻通过的车辆数最少
$\text{B.}$ $t=8$ 和 $t=17$ 是一天中车辆通过的两个极大峰值时刻
$\text{C.}$ 当 $t \in[1,2]$ 时，自动控制系统方程为 $v=v_0 \mathrm{e}^{-\rho}$
$\text{D.}$ 当 $t \in[8,10]$ 时，自动控制系统方程为 $v=v_0 \ln \rho$
已知 $\tan (\alpha-\beta)=-\frac{2}{5}, \tan \left(\beta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{12}{145}$
$\text{B.}$ $\frac{12}{145}$
$\text{C.}$ $-\frac{24}{145}$
$\text{D.}$ $\frac{24}{145}$
已知球 $O$ 是正三棱锥 $P-A B C$ 的外接球，$\triangle A B C$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，$P C=\sqrt{5}, E$ 为 $A B$ 边上的一点，且 $P E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$ ．若过点 $E$ 的球 $O$ 的截面面积为 $\frac{13 \pi}{16}$ ，则 $O E$ 与该截面所成的角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知一批乒乓球出厂的次品率为 $\alpha(0 < \alpha < 1)$ ，乒乓球出厂时，要求检验员不放回地抽取两次，每次抽取一个，贴上验收标签．记＂第一次抽到的乒乓球检测为次品＂为事件 $A$ ，＂第二次抽到的乒乓球检测为次品＂为事件 $B$ ，则下列说法正确的有
$\text{A.}$ $P(A)=\alpha$
$\text{B.}$ $P(B) < \alpha$
$\text{C.}$ $P(B \mid A) < \alpha$
$\text{D.}$ $P(A B) < \alpha^2$
如图所示的曲线 $C$ 称为双纽线，是到两定点 $F_1(-1,0), F_2(1,0)$ 的距离之积为定常数 $a(a>0)$的点的轨迹，其对称中心为坐标原点 $O$ ，则下列说法正确的有
$\text{A.}$ $a=1$
$\text{B.}$ 若曲线 $C$ 与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上
$\text{C.}$ 在第一象限，曲线 $C$ 上的点的纵坐标的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ 过双曲线 $x^2-y^2=2$ 上一点 $A$ ，作圆 $x^2+y^2=m(0 < m \leqslant 2)$ 的两条切线，切点分别为 $M, N$ ，若直线 $M N$ 与 $O A$ 的交点在曲线 $C$ 上，则 $m=2$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}+\frac{a}{x}, a \in \mathbf{R}$ ，则下列说法正确的有
$\text{A.}$ 当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 不存在极值点
$\text{B.}$ 对于任意的 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 都存在平行于直线 $y=x+1$ 的切线
$\text{C.}$ 当 $a=-1$ 时，函数 $f(x)$ 有且仅有一个极值点
$\text{D.}$ 当 $a < -1$ 时，对于任意的 $x \in(0,+\infty)$ ，都有 $f(x) < 0$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
某建筑工地的工人师傅要浇筑椭球形钢筋水泥柱，其模具横断面的椭圆方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$ ，椭圆及其内部的点 $(x, y)(x \in \mathbf{Z}, y \in \mathbf{Z})$ 称为＂整点＂，是嵌人钢筋的位置标记．浇筑水泥时，任意两个整点之间的钢筋需用铁丝绑扎固定，形成网状结构．现任抽两个整点检测是否扎紧，则抽到的两个整点之间的距离大于 $\sqrt{2}$ 的概率为
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 是首项为 1 、公差为 1 的等差数列，若 $1+\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+ \frac{a_n}{b_n}=2^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，则 $S_{10}=$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}+a \cos x-\frac{\pi}{2} a(a>0)$ ，若对任意的 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], f(x) \leqslant \mathrm{e}^\pi-\pi$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}=\frac{1}{\tan C}+\frac{\sin C}{2 \sin A \sin B}$ ．
（1）求 $C$ 的最大值；
（2）若 $C=\frac{\pi}{4}$ ，求 $\tan A$ ．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形，$A B / / D C$ ， $\angle A B C=60^{\circ}, P A=A B=2 D C=2, M$ 是 $P B$ 的中点，$N$ 是 $P C$ 上的一点．
（1）证明：平面 $A M D \perp$ 平面 $P B C$ ；
（2）若异面直线 $N A$ 和 $P B$ 垂直，求二面角 $N-M A-C$ 的正弦值．
甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进人面试．笔试共有 2 道专业理论题与 2 道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为 $p(0 < p < 1)$ ，每道岗位实践题的难度系数均为 $q(0 < q < 1)$ ，考生至少答对 3 道题才能进人面试，否则被淘汰出局；面试共有 5 道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对 3 道题或答错 3 道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为 $\frac{1}{16}$ ，笔试和面试各题是否答对相互独立．
（1）当 $p=\frac{2}{3}$ 时，求 $q$ ；
（2）求甲能够进人面试的概率 $f(p)$ 的最小值及相应的 $p$ 值；
（3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的 $p$ 值，令甲面试结束时的答题数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．
已知抛物线 $C_1: y=p x^2(p \neq 0)$ 与 $C_2: y=x^2+2 x+q$ 相交于 $A_1, B_1$ 两点，其交点的横坐标分别为 $a_1=3, b_1=-1$ ．在抛物线 $C_1$ 上另取 $(n-1)$ 个点 $A_2, A_3, \cdots, A_n$ ，在抛物线 $C_2$ 上另取 $(n-1)$ 个点 $B_2, B_3, \cdots, B_n$ ，使 $A_i A_{i+1} / / B_i B_{i+1}(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．记 $A_i, B_i(i=2,3, \cdots, n)$ 的横坐标分别为 $a_i$ ， $b_i(i=2,3, \cdots, n)$ ．
（1）求 $p, q$ 及 $2 a_2-b_2$ 的值．
（2）证明： $2 a_n-b_n=\left\{\begin{array}{l}7, n=2 k-1, k \in \mathbf{N}^*, \\ -5, n=2 k, k \in \mathbf{N}^* .\end{array}\right.$
（3）是否存在点 $A_n, B_n$ ，使四边形 $A_1 B_1 A_n B_n$ 为平行四边形？若存在，求出 $A_n, B_n$ 的坐标及 $n$ 的取值集合；若不存在，请说明理由．
给定函数 $m(x), n(x)(x \in \mathbf{R})$ ，定义：$m(x) * n(x)=m(x) n(x)+[m(x)][n(x)]$（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．已知函数 $f(x)=[x] * \mathrm{e}^x$ ．
（1）判断函数 $f(x)$ 在 $(-2,2 \ln 2)$ 上的单调性；
（2）证明：当 $x \in(0,2)$ 时，函数 $f(x)$ 的图象在直线 $y=x-1$ 的上方；
（3）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=x^2+a x+2$ 在 $(1, \ln 3)$ 内有解，求实数 $a$ 的取值范围．